概率论与数理统计许承德习题四答案.docVIP

习 题 四 1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求的分布列. 解 的分布列为 其中 余者类推。 2．将一枚硬币连掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出的分布列及边缘分布列。 解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故 ，于是的分布列和边缘分布为 其中 ， ， 余者类推。 3．设的概率密度为 又（1）；（2）。求 解 （1） ； （2） . 4．设的概率密度为 求（1）系数；（2）落在圆内的概率. 解 （1） ， . （2）设，所求概率为 . 5．已知随机变量和的联合概率密度为 求和的联合分布函数. 解1 设的分布函数为，则 解2 由联合密度可见，独立，边缘密度分别为 边缘分布函数分别为，则 设的分布函数为，则 6．设二维随机变量在区域，内服从均匀分布，求边缘概率密度。 解 的概率密度为 关于和的密度为 7．设的概率密度为 求边缘密度和概率 解 . 8．一电子仪器由两个部件组成，以和分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知的联合分布函数为： （1）问是否独立？为什么？ （2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解 （1）先求边缘分布函数： 因为，所以独立. （2） . 9．设的概率密度为 间是否独立？ 解 边缘密度为 因为 ，所以独立. 10．设的概率密度为 问是否独立. 解 边缘密度 因为，所以不独立。 11．设的概率密度为 试证明与不独立，但与是相互独立的。 证 先求的联合分布函数 关于的边缘分布函数为 关于的边缘分布函数为 因为，所以不独立. 再证与独立：设的联合分布函数为，则 关于的边缘分布函数分别为 因为，所以与独立. 证2 利用随机向量的变换（参见王梓坤《概率基础及其应用》83页） 设 . 函数的反函数为的反函数为 ，； 于是的概率密度函数为 关于的边缘密度为 关于的边缘密度为 因为，所以 独立. 12．设随机变量与相互独立，下表列出了二维随机变量的联合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空白处. 1 解 设 由联合分布和边缘分布的关系知 由独立性 ，即 ，故， ， ， 所以 ， 所以的分布为 1 13．已知随机变量和的概率分布为 ， 而且