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用“心”学习心 演绎无限精彩 谢红英 伊宁县第二中学 2015-3-25 用“心”学习心，演绎无限精彩 【摘要】从近几年的课程标准卷考查情况来看，三角形“四心”即重心，外心，垂心，内心的概念和性质在高考中是常考知识点，虽说是小题，但它小而巧，其中融汇了许多方法和技巧，小题也有大智慧，是提高分析问题解决问题的能力的重兵之处，我通过几道小题与大家共享和感悟其中的精彩之处。 【关键词】妙用三角形重心 巧用三角形外心 活用三角形垂心 善用三角形内心 在三角形中，与三角形“四心”有关的问题具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现这类新颖别致的题，常与向量结合，有一定的深度和难度，凸显出较好的区分和选拔功能，这类题不仅考察了向量等知识点，而且还培养了学生分析问题和解决问题的能力。 一、妙用三角形重心 高考常用重心的性质：（三条中线的交点） 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为。 5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。 例1? 已知O是平面上一?定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（?? ??） Ａ? 外心???? Ｂ? 内心?? ? C? 重心??? D? 垂心 解析：以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，点E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则?，因为，所以，上式可化为，点E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C. 点评：妙在将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.体现小题大智慧，演绎无限精彩。 例2如图1，已知点是的重心，过作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且 ，，则。 证明； 点是的重心，知， 得，有 又M，N，G三点共线（A不在直线MN上）， 于是存在使得， 有， 得且，于是得 点评：重心是高考向量常考之题，如能抓住重心的性质，妙用向量知识与重心的完美结合使问题不攻自破。 二、巧用三角形外心 外心的性质：（三条边的垂直平分线的交点） 1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=3600-2∠A（∠A为钝角）。 2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 3、外心到三顶点的距离相等 例3 已知是内的一点，若，则是的〔? 〕. A．重心????????B.垂心?????? C.外心?????? D.内心 解析：∵∴，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故是?的外心?，选C. 点评：此题的精巧之处在于向量与模的转化，使数与向量融为一体，以及外心的定义使得问题豁然开朗。 三、活用三角形垂心 垂心的性质：（三条高的交点） 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2， 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离 的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 例4? P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的 A．外心　??? B．内心　??? C．重心　????? D．垂心 解析:由得即， 即则 所以P为的垂心. 故选D. 点评：活用垂心定义及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合.使复杂问题简单化。 四、善用三角形内心 内心的性质：（三个内角的角平分线的交点） 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 2、内心到三角形三边距离相等。 例5（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心