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不定积分中的一题多解 　　摘要：不定积分的内容是高等数学中的重点和难点.本文通过两道例题的一题多解，详细列举了求不定积分的方法，使读者开拓解题思路，增强解题的灵活性. 　　关键词：高等数学；不定积分；一题多解 　　中图分类号：O13 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）49-0206-02 　　高等数学是理工科院校一门重要的基础学科，是非数学专业理工科专业学生的必修数学课，也是某些专业的必修课。高等数学的研究对象为函数，主要内容是微积分。微分主要是针对已知的函数，求它的导函数，而不定积分是寻找未知的函数，使其导函数为已知的函数，通常被认为是微分的逆运算。 　　不定积分就是寻找原函数的过程，主要的方法有：公式法、“凑”微分法、换元法以及分部积分法。对于初学者而言，解题时往往不能根据被积函数的特点找出合适的积分方法，经常会束手无策，所以积分方法的灵活运用显得尤为关键。本文针对两道不定积分的例题，从不同的角度剖析被积函数的特点，用多种方法进行求解，帮助读者更好地掌握不定积分的解法。 　　例1： dx. 　　解：由于被积函数中有e ，并且de =e dx，则分子需要出现e ，凑成e 的微分。 　　解法一： 　　dx= dx= （1- ）dx= dx+ 　　=x-ln（e +1）+C. 　　解法二： 　　dx= dxu=e = （ - ）du=ln +C=x-ln（e +1）+C. 　　由于e 也具备类似的性质，即：de =-e dx，则有解法三： 　　dx= dx= dx=- =-ln（e +1）+C=x-ln（e +1）+C. 　　若不用凑微分法，也可以直接将e 还原，令e =t，则 x=lnt且dx= dt，于是有解法四： 　　dx= dt= （ - ）dt=ln +C=ln +C=x-ln（e +1）+C. 　　例1属于比较简单的不定积分，根据被积函数的特点用“凑”微分法进行求解，如：解法一、解法二和解法三，“凑”微分法关键在“凑”字，需要根据函数自身的性质来凑成被积函数的微分；解法四则是先进行代换，将被积函数换成有理函数再积分。与“凑”微分法不同的是，换元积分法通常用于被积函数带有根号的情形，大致分为：根式代换、三角代换、欧拉代换等，于是需要先将被积函数进行代换，再进行积分。 　　例2：求 . 　　解：首先对被积函数进行变换： = 　　=2 ， 　　根据被积函数特点可以进行三角代换。 　　解法一： 　　令2x+1=sect，则x= ，且dx= dt，于是 = = sectdt=lnsect+tant+C=ln2x+1+2 +C. 　　解法二： 　　令2x+1=csct，则x= ，且dx=- dt，于是 = = csctdt=lncsct+cott+C=ln2x+1+2 +C. 　　由于双曲函数也具有类似的性质ch2t-sh2t=1，因此也可用双曲代换。 　　解法三： 　　令2x+1=cht，则x= ，且dx= dt，于是 = = dt=t+C=ln2x+1+2 +C. 　　根据被积函数的特点，可以使用欧拉代换。 　　解法四： 　　令 =t+x，则x= ，且dx= dt，于是 = dt=ln2x+1+2 +C= dt=-ln1-2t+C=-ln1-2 +2x+C. 　　解法五： 　　令 =t-x，则x= ，且dx= dt，于是 = dt= dt=ln2t+1+C=ln2x+1+2 +C. 　　解法六： 　　令 =t（x+1），则x= ，且dx= dt，或者直接将被积函数进行变换，即 = dx，令 =t，同样的x= ，且dx= dt，于是 = ?t? dt= dt=ln +C=ln +C=ln2x+1+2 +C. 　　解法七： 　　令 =tx，则x= ，且dx= dt，或者直接将被积函数进行变换，即 = dx，令 =t，同样的x= ，且dx= dt，于是 = t? ? dt= 　　- dt=ln +C=ln +C=ln2x+1+2 +C. 　　参考文献： 　　[1]同济大学应用数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007：184-222. 　　[2]祁爱琴，邵珠艳，胡西厚.医用高等数学[M].北京：科学出版社，2013：77-97. 　　[3]王培承，祁爱琴，魏曼莎.医科高等数学[M].济南：山东人民出版社，2010：76-98. 4