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函数、极限与连续性初等函数回顾函数的概念设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数xD，变量y按照确定的法则总有唯一的数值与其对应，则称y是x的函数，记作y=f（x）.fyRxxxxDf--定义在D上的函数; D--定义域;x--自变量; y--因变量; R={y／y=f（x），x }—值域 常见的函数的定义域有如下规则：对于分式函数，分母不能为零；偶次根号下的变量不能小于零；对于对数函数y=x，规定：底数，，真数；对于余切函数y=cotx，规定：，k；对于正切函数y=tanx，规定：x，k；对于反正弦函数y=arcsinx和反余弦函数y=arcosx规定：-1.函数的几种特性函数的特性包括有界性、单调性、奇偶性和周期性。有界性定义：若有正数M存在，使函数f（x）在区间D上恒有y=f(x)xy-MMMmmo|f（x）|，则称f(x)在区间D上是有界函数，否则，是无界函数。有界函数图形夹在两条平行线之间单调性定义:若对于区间D内任意两点及，当时，有f（）f(,则称f（x）在I上单调增加，区间D称为单调增区间；若当时，有f（）f(,则称f(x)在D上单调减少，区间D称为单调减区间，单调增区间或单调减区间统称为单调区间。yyoxox单调增函数延x轴正方向上升，单调减函数延x轴反方向下降（3）奇偶性定义：设D是关于原点对称的区间，若对于任意x属于D，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。（4）周期性若对于不为零的数T，使得对于任意x属于D，有x+T属于D，且f（x+T）=f（x）,则称f(x)为周期函数。通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。周期函数在每个定义域内都是相同形状1.1.3初等函数1.基本初等函数（理解和应用） 我们把幂函数y=(aR),指函数y=(a0,a),对数函数y=x(a0,a),三角函数y=sinx,y=cosx,y=secx,y=cscx和反三角函数y=arcsinx,y=arccosx.y=arctanx,y=arccotx统称为基本初等函数。为了方便，很多时候也把多项式函数y=++…++看作基本初等函数。基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成的，并能用一个式子表示的函数，称为初等函数。 列如，y=x,y,y=Incosx,y=等都是初等函数。 列1.1.1 函数y=是由哪些基本初等函数复合而成的？解 另u=arcsinx,则y=,故y=是由y=,u=arcsinx复合而成的。列1.1.2 函数y=tan是由哪些基本初等函数复合而成的？解 另u=,则y=tanu;再另v=,则u=;再另w=;故y= tan,是由y=tanu, u=, w=复合而成的。3.分段函数定义：若函数y=f（x）在它的定义域内有不同的区间（或不同点）上有不同的表达式，则称它为分段函数。注意：分段函数一般不是初等函数。反函数和复合函数反函数定义1.1.1 设y=f(x)为定义在Ｄ上的函数，其值域为Ａ，若对于数集Ａ上的每个数，数集Ｄ都中都有唯一确定的一个数ｘ使ｆ（ｘ）＝ｙ，即ｘ变量为ｙ的函数，这个函数称为函数ｙ＝ｆ（ｘ）的反函数，记为ｘ＝（ｘ），其定义域为Ａ，值域为Ｄ。２.　复合函数　定义１.１.３　　设ｙ是ｕ的函数ｙ＝ｆ（ｕ），而ｕ又是ｘ的函数ｕ＝，且的值域与ｙ＝ｆ（ｕ）的定义域的交集非空，那么，ｙ通过中间变量ｕ的联系成为ｘ的函数，我们把这个函数称为是由函数ｙ＝ｆ（ｕ）与复合而成的复合函数，记作ｙ＝ｆ（．２　极限的概念１.２．１　数列的极限定义１.２.１　如果数列的项数ｎ无限增大时，它的通项无限接近于某一个确定的常数ａ，则称ａ是数列的极限，此时也称数列收敛于ａ，记作　ｌｉｍ＝ａ或ａ（ｎ）　定义１．２．２　　如果数列的项数ｎ无线增大时，它的通项不接近于任何确定的常数，则称为数列没有极限，或称数列发散。注意：当ｎ无限增大时，如果无限增大，则数列没有极限。这时，习惯上也称数列的极限是无穷大，记作ｌｉｍ（ｎ）＝。定理１.２.１（柯西收敛准则）　数列收敛的充要条件是：对于任意给定的正数，存在正整数Ｎ，使得当ｍ，ｎ＞Ｎ时，总有＜．定理１.２.２（唯一性）　若数列收敛，则其极限是唯一的。定理１.２.３（有界性）　若数列收敛，则必有界。定理１.２.4（保号性） 若数列收敛，且ｌｉｍ（ｎ）=a，则当a0(或a0)时，存在正数N，当nN时，有0（或0）.１.２．2 函数的极限定义1.2.3 如果当|x|无限增大（即x）时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A，那么就称f(x)当x时存在极限A，称数A为当x