第十四章幂级数.docVIP

S F 01（数） Ch 14 幂级数 计划课时： 1 0 时 Ch 14 幂级数 （ 1 0 时 ） § 1 幂级数（ 4 时 ） 幂级数的一般概念. 型如 和 的幂级数 . 幂级数由系数 数列唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如的幂级数. 幂级数是最简单的函数项级数之一. 幂级数的收敛域: 收敛半径 、收敛区间和收敛域： Th 1 （ Abel ） 若幂级数在点收敛 ， 则对满足不等式 的任何，幂级数收敛而且绝对收敛 ；若在点发散 ，则对满足不等式的任何，幂级数发散. 证 收敛, {}有界. 设||, 有 |, 其中 . . 定理的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数和的收敛域的结构. 定义幂级数的收敛半径 R. 收敛半径 R的求法. Th 2 对于幂级数, 若, 则 ⅰ 时, ; ⅱ 时; ⅲ 时. 证 , ( 强调开方次数与的次数是一致的). …… 由于, 因此亦可用比值法求收敛半径. 幂级数的收敛区间: . 幂级数的收敛域: 一般来说 , 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域 是区间、、或之一. 例1 求幂级数的收敛域 . 例2 求幂级数的收敛域 . 例3 求下列幂级数的收敛域: ⑴ ; ⑵ . 2. 复合幂级数: 令, 则化为幂级数.设该幂级数的 收敛区间为，则级数的收敛区间由不等式 确定. 可相应考虑收敛域. 特称幂级数为正整数)为缺项幂级数 .其中. 应注意为第 项的系数 . 并应注意缺项幂级数 并不是复合幂级数 , 该级数中, 为第 项的系数 . 例4 求幂级数的收敛域 . 解 是缺项幂级数 . . 收敛区间为. 时, 通项. 因此 , 该幂级数的收敛域为. 例5 求级数的收敛域 . 解 令, 所论级数成为幂级数.由几何级数的敛散性结果, 当且仅当时级数收敛. 因此当且仅当, 即时级数收敛. 所以所论级数的收敛域为. 例6 求幂级数的收敛半径 . 解 . Ex [1]P64—65 1，7； [4]P309—312 15—19， 39⑴⑷⑸，40⑶—⑹⑻，41⑵. 二． 幂级数的一致收敛性： Th 3 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内 闭一致收敛 . 证 , 设, 则对, 有 , 级数绝对收敛, 由优级数判别法, 幂级数 在上一致收敛. 因此 , 幂级数在区间内闭一致收敛. Th 4 设幂级数的收敛半径为,且在点( 或 )收敛, 则幂级数在区间( 或 )上一致收敛 . 证 . 收敛 , 函数列在区间上递减 且一致有界 , 由Abel判别法, 幂级数在区间上一致收敛 . 易见 , 当幂级数的收敛域为(时 , 该幂级数即在区间 上一致收敛 . 三. 幂级数的性质: 1. 逐项求导和积分后的级数: 设, *) 和 **)仍为幂级数. 我们有 命题1 *) 和 **)与有相同的收敛半径 . ( 简证 ) 值得注意的是，*) 和 **)与虽有相同的收敛半径（ 因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域 ， 例如级数. 2. 幂级数的运算性质: 定义 两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数. 命题2 ,.(由以下命题4系2) 命题3 设幂级数和的收敛半径分别为和, , 则 ⅰ , — Const ， . ⅱ +, . ⅲ ()(), , . 3. 和函数的性质: 命题4 设在(内. 则 ⅰ 在内连续; ⅱ 若级数或收敛, 则在点( 或 )是 左( 或右 )连续的; ⅲ 对, 在点可微且有 ; ⅳ 对, 在区间 上可积, 且 . 当级数收敛时, 无论级数在点收敛与否,均有 . 这是因为: 由级数收敛, 得函数 在点左连续, 因此有. 系1 和函数在区间内任意次可导, 且有 , …