一级倒立摆系统.docVIP

直线一级倒立摆建模与性能分析 直线一级倒立摆建模及性能分析 一、数学模型建立 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。为外界作用力；为小车位移；为摆杆与铅垂方向的夹角；、分别为摆杆与小车的链接点、摆杆质心的位置；为小车的质量；为摆杆的质量；为摆杆绕的转动惯量；为到摆杆质心的距离,为摆杆的长度；为小车与导轨间的滑动摩擦系数，为摆杆绕 转动的摩擦阻力矩系数。 对于上图的物理模型我们做以下假设： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数 l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆惯量 F：加在小车上的力 x：小车位置 ?：摆杆与垂直向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律。因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。 应用牛顿力学来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： 即： 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： （1-1） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： 即： 力矩平衡方程如下： 注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去和，得到第二个运动方程： （1-2） 1.1 微分方程模型 设，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角与1（单位是弧度）相比很小，即 时，则可以进行近似处理：，，。为了与控制理论的表达习惯相统一，即一般表示控制量，用来代表被控对象的输入力，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式： (1-3) 1.2 传递函数模型 对方程组（1-3）进行拉普拉斯变换，得到 （1-4） 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。 由于输出为角度，求解方程组（1-4）的第一个方程，可以得到 把上式代入方程组（1-4）的第二个方程，得到 整理后得到以输入力为输入量，以摆杆摆角为输出量的传递函数： 其中 若取小车位移为输出量，可得传递函数： 1.3 状态空间数学模型 由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式： 方程组（1-3）对解代数方程，得到如下解： 整理后得到系统状态空间方程： 以上就是一阶倒立摆小车系统的状态空间表达式 1.4 能控标准型和能观标准型 在Matlab中，拉普拉斯变换后得到的传递函数可以通过计算并输入分子和分母矩阵来实现。假设系统内部各相关参数为： 小车质量 1.095 Kg 摆杆质量 0.105Kg 小车摩擦系数 0.15 N/m/sec 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.35 m 摆杆惯量 0.0035kg*m*m 采样时间 0.005秒 求解能控标准型和能观标准型程序代码如下： A =[ 0 1.0000 0 0; 0 -0.0883 0.6084 0; 0 0 0 1.0000; 0 -0.2274 26.8117 0] B =[ 0; 0.8829; 0; 2.2742] C =[ 1 0 0 0; 0 0 1 0] D =[ 0; 0;] Qc=ctrb(A,B) Qo=obsv(A,C) j=poly(A) a1=j(2) a2=j(3) a3=j(4) a4=j(5) Tc=Qc*[a3 a2 a1 1; a2 a1 1 0; a1 1 0 0; 1 0 0 0] Ac=inv(Tc)*A*Tc Bc=inv(Tc)*B Cc=C*Tc To=inv([a3 a2 a1 1 0 0 0 0 ; a2 a1 1 0 0 0 0 0 ; a1 1 0 0 0 0 0 0 ; 1 0 0 0 0 0 0 0]*Qo)