高一数学人教A版必修4课件：1.2.2同角三角函数的基本关系[高考精品].pptxVIP

第一章——三角函数1.2　任意角的三角函数1.2.2　同角三角函数的基本关系[学习目标]1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破当堂检测 当堂训练，体验成功3[知识链接]1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？答　在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ .2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？答　MP＝sin α，OM＝cos α，AT＝tan α.3.如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？答　设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合.P到原点的距离为r＝ 0，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ .[预习导引]1.任意角的三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系.设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点.2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系： .(2)商数关系： .sin2α＋cos2α＝13.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝ ；cos2α＝ .(2)tan α＝ 的变形公式：sin α＝ ；cos α＝ .1－cos2α1－sin2αcos αtan α要点一　利用同角基本关系式求值例1　已知cos α＝－ ，求sin α，tan α的值.∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么如果α是第三象限角，同理可得规律方法　已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2 α＋cos2α”.本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cos α的值推断出α所在的象限，再分类求解.跟踪演练1　已知tan α＝ ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.又sin2 α＋cos2α＝1，②要点二　三角函数代数式的化简例2　化简下列各式：解　由于sin α·tan α0，则sin α，tan α异号，∴α是第二、三象限角，∴cos α0，规律方法　解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数.从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.(4)关于sin α，cos α的齐次式的求值方法①sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子，分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，如 可化为 ，再代入求值.②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，如3sin2α－2cos2α可写成 ，进一步化为 ，再代入求值.跟踪演练2　已知tan α＝3，则1(2)sin2α－3sin αcos α＋1＝ .1要点三　三角函数恒等式的证明∴原等式成立.规律方法　(1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简.(2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.(3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证.跟踪演练3　已知2cos4θ＋5cos2θ－7＝asin4θ＋bsin2θ＋c是恒等式.求a、b、c的值.解　2cos4 θ＋5cos2 θ－7＝2－4sin2 θ＋2sin4 θ＋5－5sin2 θ－7＝2sin4 θ－9sin2 θ，故a＝2，b＝－9，c＝0.1234cos 40°－sin 40°12342.已知α是第三象限角，sin α＝－ ，则tan α＝ .解析　由α是第三象限的角，得到cos α＜0，1234解　∵α是第三象限角，∴sin α0，由三角函数线可知－1cos α0.1234123412341234∴原等式成立.课堂小结1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1， ＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.2.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时