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高三数学第一次自我检测 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．U={1, 2, 3, 4}，M={1, 2}，N={2, 3}，则M）（N) = ▲ ．．复数的形式为 ▲ ．．向量的两个单位向量，且，，则 ▲ ．．直线与互相平行的充要条件是m= ▲ ．．的最小正周期是 ▲ ．．在数列an}中，对n∈N*，＝，则= ▲ ．．分别标有12，3，4的四个小球，，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是 ▲ ．8．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ▲ ．9．运行如图所示程序框图后，输出的是 ▲ ． 10．关于直线和平面，有以下四个命题： ①，； ②，； ③，且； ④，或其中假命题的序号是 ▲ ．11．已知函数若则实数的取值范围是 ▲ ．12．已知中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形椭圆上的动点，的坐标分别是，则PCPD的最大值为 ▲ ．13． 等差数列 等比数列 ▲ 14．在中，，是边上一点与不重合，且，则．二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．如图，在四边形中，°，且．（1）求的值（2）的面积的面积的值． 解在中，，则．………………2分 又，AB=13， ∴． …………………………4分 ∵，． ……………………………5分 ∴．…………8分 （2） ， 则，．……………………14分 16．如图，在正三棱柱中，点在边上． （1）求证：平面；（2）是上的一点，当的值为多少时，平面？请给出证明． 解: （1）在正三棱柱中，平面，平面，又交于，且和都在面面． （2）由（1）得在正三角形中，是的中点． 当，即为的中点，平面．正三棱柱中，四边形是所以又且，，且所以四边形为平行四边形，所以而面内，故平面．（本小题满分1分） 数列的 （1）若且成等比数列，求的值； （2）是否存在，使得成等比数列？若存在，求出常数的值；如不存在，请说明理由． （2）或 （寒假作业一） 18．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料日 期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 温差（°C） 10 11 13 12 8 发芽数（颗） 23 25 30 26 16 该确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验（）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率； （）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出关于的线性回归方程； （）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得线性回归方程是否可靠?解：（）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种所以 ． 答：略． …………………………………………………………………………5分 （）由数据求得由公式求得，所以关于的线性回归方程为（）当时，，；同样，当时，， 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的抛物线的焦点为在抛物线上，且存在实数λ使． （1）求直线的方程； （2）求的外接圆的方程． 解：（1）抛物线的准线方程为，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义得|=． 1分 设直线，而 由． ………………………………3分 ∴||== ．∴．……6分 从而故直线的方程为即（2）由 求得，－1）．………………10分 设的外接圆方程为解得 ……………………………15分 故△AOB的外接圆的方程为．的单调区间； （2）求证：当时，； （3）是否总存在正实数，使得成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．；减 （2）略 （3） 【填空题答案】 1．； 2．; 3．；4．；5．；6．；7．；8．48；9．； 10．③④ ；11．；12．；13．；14．21．（几何证明选讲如图，是半圆的直径，是延长线上一点，切半圆于点，垂足为，且是的中点，求的长．解连接，则在中，OB=OD，30°． ………………………3分 在中，30°， 由则°=，所以．参数方程求直线为参数）被圆为参数）截得