(信息10级1班朱文亮毕业论文定稿.docVIP

反应扩散捕食-食饵模型的全局渐近稳定性分析 朱文亮 河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2010级1班 摘要：本文结合数学知识对数学生态学中的捕食模型进行探讨，主要是在经典三种群Lotka-Volterra食物链模型的基础上，加上时滞性因素，探讨模型解的全局渐进稳定性。在分析与证明过程中主要用到一些迭代知识与比较定理等。 关键词：全局渐进稳定性；时滞性；Lotka-Volterra食物链模型 §1.引言 在人类自然科学中，生态学是非常重要的一部分。生态学的研究对地球环境以及人类的生存都至关重要。特别是近些年，人类滥砍滥伐，破坏生态的现象特别严重，怎样更好地利用生态学知识保护自然，保护我们共同的家园，是目前我们亟需解决的问题之一。研究生态学一般和其他学科相交叉，而生态学和数学交叉产生的数学生态学又是研究生态学非常重要且不可或缺的一部分。数学生态学在16世纪开始萌芽，但主要成果是在20世纪完成的。在数学生态学中有一个模型非常重要，那就是捕食模型。在自然界，到处都是食物链的存在，研究捕食模型是研究生态学的重要组成部分。在国内外，研究捕食模型的著作也层出不穷。在本文中，主要对模型 (1.1) 运用比较原理和单调迭代方法证明平衡解的全局渐近稳定性。这是一个三种群捕食模型，在模型中， 分别表示食饵、中间捕食者、捕食者的种群密度。三个种群为捕食关系，但是，它们是单向捕食，中间捕食者捕食食饵，捕食者捕食中间捕食者，并且，它们分别只捕食一种食物。在模型中，表示拉普拉斯算子，=。（i=1,2,3）分别表示三种群的扩散系数。表示食饵的内禀增长率，表示中间捕食者、捕食者的死亡率。由于，中间捕食者只捕食食饵，捕食者只捕食中间捕食者，所以当食饵的密度为零时，中间捕食者会减少，中间捕食者为零时，捕食者只会减少。模型中的（i=1,2,3）分别表示三种群自身的密度制约。分别表示中间捕食者的捕食行为对食饵种群密度的影响以及捕食者的捕食行为对中间捕食者密度的影响。分别表示食饵的种群密度对中间捕食者种群增长的影响以你中间捕食者的密度对捕食者种群增长的影响。常数表示相应的生长时滞，也即物种从出生到成年（具有捕食能力）所需要的时间。模型中项表示中间捕食者从出生到具有捕食食饵的能力所需要的时间为;项表示中间捕食者只捕食成年的食饵，而食饵从出生到成年所需要的时间为；项表示捕食者只捕食成年的中间捕食者，从出生到成年所需要时间为.此外在模型中是外法向量. 对于=0，即没有时滞的模型的解的存在性以及渐进性质的研究已经相当广泛，本文则主要研究具有时滞的模型（1.1）的解的存在性以及唯一性、解的全局渐进稳定性。首先，我们先探究解的存在唯一性。 §2.三种群捕食模型解的存在唯一性 为了求得解的存在唯一性，我们首先给出正性定理（参见[1]）。 定理2.1 设且满足下面不等式组： (2.1) 其中如果对于成立，并且当时，那么，. 很明显，系统（1.1）是（2.1）的特殊形式，所以我们可以得到下面的推论： 推论2.1 系统（1.1）的初值为非负，则它的任一解非负 为了证明解的存在唯一性，我们需要用到耦合上下解的方法，所以首先我们引入以下定义： 定义2.1 一对非负函数成为系统（1.1）的耦合上解和下解，如果在上成立，并且满足下面不等式组： (2.2) 引理2.1 设是模型（1.1）在上的一组上下解，则系统（1.1）有唯一全局非负解，并且在上成立。引理的证明参见[1]中引理2.3的证明. 如果耦合的上下解在内都成立，即与系统（1.1）中的无关，则我们可以令则（2.2）中的不等式组可以写成下面的形式： (2.3) 根据引理2.1，我们可得出如下推论： 推论2.2 设是一对非负向量，其满足和（2.3）中的不等式组，则如果在上成立，则系统（1.1）有唯一非负全局解，我们设全局解为，则在上. 根据以上引理和推论，我们可以得出如下定理： 定理2.2 对于任意非负初始函数，系统（1.1）存在唯一的全局非负解，其满足，其中 . 证明 我们可以设，（i=1,2,3）,则，并且不等式组（2.3）成立，所以根据推论2.2，我们得出是（1.1）的耦合上下解，系统（1.1）存在唯一的全局非负解 . §3.模型的全局渐近稳定性 我们先来介绍一些已有结果. 我们研究（1.1）解的全局渐进稳定性，先对相应的常数稳态解进行探讨。系统（1.1）的常数稳态解由下面系统求出。 (3.1) 系统（3.1.1）有平凡的非负解（0,0,0）和解（）. 如果令,则由 得出，系统有非负解：. 不过由于得