高数第六章答案..docVIP

习题6-2 1? 求图6-21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 . (2) 解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 ? 解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为 ? (3) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[-3? 1]? 所求的面积为 ? (4) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[-1? 3]? 所求的面积为 ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 与x2+y2=8(两部分都要计算); 解: . . (2)与直线y=xx=2; 解: 所求的面积为 . (3) y=ex, y=e-x与直线x=1; 解: 所求的面积为 . (4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (ba0). 解 所求的面积为 3. 求抛物线y=-x2+4x-3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: y￠=-2 x+4. 过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y=4(x-3). 过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y=-2x+6. 两切线的交点为, 所求的面积为 . 4. 求抛物线y2=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积. 解 2y×y?=2p ? 在点处? ? 法线的斜率k=-1? 法线的方程为? 即? 求得法线与抛物线的两个交点为和? 法线与抛物线所围成的图形的面积为 ? 5. 求由下列各曲线?所? (1)?=2acosq ?? 解: 所求的面积为 =pa2. (2)x=acos3t, y=asin3t; 解 所求的面积为 ? (3)?=2a(2+cosq ) 解 所求的面积为 ? 6. 求由摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱(0?t?2p)与横轴?所. 解: 所求的面积为 . 7. 求对数螺线?=aeq(-p?q?p)及射线q=p所围成的图形面积? 解 所求的面积为 ? 8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. (1)?=3cosq 及?=1+cosq 解 曲线?=3cosq 与?=1+cosq?交点的极坐标为, . 由对称性, 所求的面积为 . (2)及? 解 曲线与? 所求的面积为 ? 9. 求位于曲线y=ex下方??该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积. 解 设直线y?kx与曲线y?ex相切于A(x0? y0)点? 则有 ? 求得x0?1? y0?e? k?e ? 所求面积为 ? 10. 求由抛物线y2=4ax. 解 设弦的倾角为a. 由图可以看出, 抛物线 . 显然当时, A1=0; 当时, A10. 因此, 抛物线 . 11. 把抛物线y2=4axx=x0(x00)所围成的图形绕x轴旋转, 计算所得旋转体的体积. 解 所得旋转体的体积为 ? 12. 由y=x3? x=2? y=0所围成的图形? 分别绕x轴及y轴旋转? 计算所得两个旋转体的体积? 解 绕x轴旋转所得旋转体的体积为 ? 绕y轴旋转所得旋转体的体积为 ? 13. 把星形线所围成的图形? 绕x轴旋转? 计算所得旋转体的体积? 解 由对称性? 所求旋转体的体积为 ? 14. 用积分方法证明图中球缺的体积为? 证明