第八节函数的连续性与间断点..docxVIP

一、导入 函数在点处的左右极限：与二、新授§1. 8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性 1、变量的增量： 设变量从它的一个初值变到终值，终值与初值的差就叫做变量的增量, 记作，即。 设函数在点的某一个邻域内是有定义的。当自变量在这邻域内从变到时，函数相应地从变到，因此函数的对应增量为 2、函数连续的定义 设函数在点的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量趋于零时, 对应的函数的增量也趋于零，即 或 那么就称函数在点处连续。注 ① ②设xx0+x, 则当x0时, xx0, 因此 . 函数连续的等价定义2:设函数yf(x)在点x0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式|xx0| 的一切x, 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)f(x0)| , 那么就称函数yf(x)在点x0处连续. 左右连续性: 如果，则称yf(x)在点处左连续. 如果，则称yf(x)在点处右连续. 左右连续与连续的关系: 函数yf(x)在点x0处连续?函数yf(x)在点x0处左连续且右连续。 函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例: 1. 如果f(x)是多项式函数, 则函数f(x)在区间(￥, ￥)内是连续的. 这是因为, f(x)在(￥, ￥)内任意一点x0处有定义, 且 2. 函数在区间[0, ￥)内是连续的. 3. 函数ysin x 在区间(￥, ￥)内是连续的. 证明 设x为区间(￥, ￥)内任意一点. 则有 ysin(xx)sin x, 因为当?x0时,y是无穷小与有界函数的乘积,.这就证明了函数ysin x在区间(￥, ￥)内任意一点x都是连续的． 4. 函数ycos x 在区间(￥, ￥)内是连续的. 二、函数的间断点 1、间断定义: 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f(x)有下列三种情形之一: (1)在x0没有定义; (2)虽然在x0有定义, 但f(x)不存在; (3)虽然在x0有定义且f(x)存在, 但f(x)1f(x0);则函数f(x)在点x0为不连续, 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点. 例1. 正切函数ytan x在处没有定义, 所以点是函数tan x的间断点. 因为, 故称为函数tan x的无穷间断点. 例2. 函数在点x0没有定义, 所以点x0是函数的间断点. 当x?0时, 函数值在1与1之间变动无限多次, 所以点x0称为函数的振荡间断点. 例3. 函数在x1没有定义, 所以点x1是函数的间断点. 因为, 如果补充定义: 令x1时y2, 则所给函数在x1成为连续. 所以x1称为该函数的可去间断点. 例4. 设函数. 因为,, , 所以x1是函数f(x)的间断点. 如果改变函数f(x)在x1处的定义:令f(1)1, 则函数f(x)在x1 成为连续, 所以x1也称为该函数的可去间断点. 例5. 设函数. 因为, , 所以极限不存在, x=0是函数f(x)的间断点. 因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象, 我们称x0为函数f(x)的跳跃间断点. 2、间断点的分类: 通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点. 三、练习四、总结五、作业