第五章不定积分..docVIP

第五章 不定积分 第一节 不定积分的概念 教学目的：理解原函数概念，掌握不定积分的概念、几何意义和特解 教学重点、难点：不定积分的概念和满足初始条件的特解。 教学形式：讲练结合 教学时间：2学时 一、引入新课 1．求下列函数F(x)= ，F(x)= +2的导数。 2．由导数的几何意义求：已知曲线上各点的切线斜率随x的变化规律是k(x)= ，求曲线方程。 二、新授课 1．不定积分的概念 事实上，如果F(x)是(x)= f(x) 的一个解，那么满足(x)= f(x) 的所有解为F(x)+C(C为任意实数)，我们把满足(x)= f(x)的所有解表示为，即 = F(x) + C. 我们称为f(x)的不定积分, F(x)称为f(x)的一个原函数.其中“”为积分符号, f(x)为被积函数,x为积分变量. ? 不定积分的定义　在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分，记为。 定义　如果在区间内，可导函数的导函数为，即，都有或，那么函数就称为或在区间内原函数。 ????例　，是的原函数。是在区间内的原函数。 ????原函数存在定理　如果函数在区间内连续，那么在区间内存在可导函数，使，都有。 ????简言之：连续函数一定有原函数。 ????问题：(1)原函数是否唯一？ ????(2)若不唯一它们之间有什么联系？ ????例　，(为任意常数) ???关于原函数的说明： ????(1)若，则对于任意常数，都是的原函数。 ????(2)若和都是的原函数，则(为任意常数) ????证　 ????(为任意常数)??? (x)= 的解为 =+C. 例1　求。 ????解　 ????例2　求。 ????解　 ????。3．不定积分的几何意义：在几何上,不定积分是一族曲线,它是y=F(x)沿y轴上下平移得到的.例如, 所表示的曲线族如图5—1所示(其中C分别取-1,0,1) 图 5—1 ( ) 由于在相同横坐标x处,所有积分曲线的斜率均为f(x),因此 ,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行. 在实际问题中,经常需要求一个满足某特定条件的解.例如,在积分曲线族中,求过某一定点的曲线.实际上,这一问题就是要确定不定积分中的常数. 例3 设曲线过(1,2),在此曲线上任意点的切线斜率为2x,求此曲线方程. 解 先求斜率为2x的曲线方程族 =+C 因为所求曲线过点(1,2),代上式,得2=1+C,则C=1,于是,所求曲线方程为 y=+1. ?由不定积分的定义，可知 ???? ????。 ????结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。 (1) 下列等式中成立的是（ ）； (2) 在区间内，如果，则下列各式中一定成立的是（ ）； 五、课外作业： 已知平面曲线上任一点处的切线斜率为，且曲线经 过点，求该曲线的方程。 3．一质点作变速直线运动，速度，当时，质点与原点的距离为 ，求质点离原点的距离和时间的函数关系。 4．已知，且，求。 第五章 不定积分 第一节 不定积分的性质 教学目的：掌握基本初等函数的不定积分公式，理解不定积分的性质。 教学重点、难点：重点是不定积分的积分公式。难点是理解不定积分的性质和应用。 教学形式：讲练结合 教学时间：2学时 教学年级：会计学一年级 教学过程 一、引入新课 1．实例　。 ????启示　能否根据求导公式得出积分公式？ ????结论　既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。基本积分表 ???? ????是常数); ???? ???? ????说明： ????简写为。 ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? 不定积分的性质 ???? ????证　 ????等式成立。 ????(此性质可推广到有限多个函数之和的情况) ????。(是常数， ????例5　求积分。 ????解　 ???????? ???????? ????例6　求积分。 ????解　 ???????? ???????? ????例7　求积分。 ????解　 ????????????????????? ????????????????????? ????例8　求积分。 ????解　 ????说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表。 ????例