第五章 定积分及其应用..docVIP

【教学内容】§5.1 定积分的概念和性质 【教学目的】理解定积分的概念，掌握定积分的性质 【教学重点】定积分的概念 【教学难点】定积分概念的理解 【教学时数】4学时 【教学过程】 一、组织教学，引入新课 实例1. 曲边梯形的面积 1、曲边梯形定义： 由连续曲线，直线 及轴所围成的平面图形称为曲边梯形. 2、计算曲边梯形的面积 (1) 分割——分曲边梯形为n个小曲边梯形. 在任意插入个分点 把区间分成个小区间， 每个小区间的长度是=-， 其中最长的小区间的长度记作， 即，. 过各分点作x轴的垂线， 这样，原曲边梯形就被分成个小曲边梯形. 第个小曲边梯形的面积记作，. (2) 近似代替——用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积. 在每一个小区间，()上任选一点， 用与小曲边梯形同底，以为高的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积.这时有. (3) 求和——求个小矩形面积之和. n个小矩形构成的阶梯形的面积，是原曲边梯形面积的一个近似值， 即有≈. (4) 取极限——由近似值过渡到精确值. 分割区间的点数越多，且每个小区间的长度越短，即分割越细，和数与曲边梯形面积的误差越小.将区间无限地细分下去，并使每个小区间的长度都趋于零，这时，和数的极限就是原曲边梯形面积的精确值： . 实例2. 变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，已知速度是时间的连续函数， 现确定物体由时刻到时刻这一时间段内所经过的路程 (1) 分割 在时间间隔任意插入个分点 把时间间隔分成个小时间间隔， 每个小段时间间隔的长度是=-， 其中最长的时间间隔的长度记作，即，. 在第个小时间间隔所经过的路程记作 (2) 近似 在每一个小时间间隔上任取一时刻，以该时刻的速度来近似代替上各个时刻的速度，得到物体在内所经过的路程的近似值，即. (3) 求和 把各小段时间间隔内的路程的近似值加起来，就得到物体在内经过的路程的近似值，即 (4) 取极限. 当时，上述和式的极限就是路程的精确值 即. 总结： 以上两个实际问题，其一是几何问题；其二是物理问题：这两个问题的内容虽然不同，但解决问题的方法却完全相同： 都是采取分割、近似代替、求和、取极限的方法.而最后都归结为同一种结构的和式的极限.事实上，很多实际问题的解决都采取这种方法，并且都归结为这种结构的和式的极限.现抛开问题的实际内容，只从数量关系上的共性加以概括和抽象，便得到了定积分概念. 二、讲授新课 （一）定积分概念 1、定积分定义 设函数在闭区间上有定义，在任意插入个分点 把区间分成个小区间， 每个小区间的长度是=-， 其中最长的小区间的长度记作，即，. 在每一个小区间，()上任选一点， 作乘积，并作和. 如果不论对怎样划分，也不论在小区间上的点如何选取，当时，该和式趋于确定的极限，则称函数在区间上是可积的，此极限是，记作，即. 其中为被积函数，为被积表达式，称为积分变量, 称为积分下限，为积分上限，称为积分区间. 说明：（1）定积分是一个数. （2）定积分与被积函数和积分区间有关，与积分变量无关， 即 （3）定积分与不定积分的区别 规定：（1） （2）. 2、函数可积的条件 （1）函数可积的必要条件 若函数在区间上可积，则在区间上有界 说明：有界是可积的必要条件；无界函数一定不可积. （2）函数可积的充分条件 若函数在区间上连续，则在区间上可积. 若函数在闭区间上有界，且有有限个间断点，则在区间上可积. 说明：上述条件是充分条件，但不是必要条件. （二） 定积分的几何意义 1、若函数， 定积分表示由连续曲线， 直线及轴所围成的平面图形的面积， 即 特别地，在区间上，若， 则 表示以区间为底，高为1的矩形的面积 2、若函数， 定积分表示由连续曲线， 直线及轴所围成的 平面图形的面积的负值.即. 3、一般地，定积分表示 由连续曲线，直线 及轴所围成的平面图形的面积的代数和. 若以记有阴影部分的面积，则  . 【例1】在区间上，若，， 试用几何图形说明下不等式成立： . 解：在区间上，因，， 所以曲线在轴上方且单调上升. 曲边梯形的面积＝， 矩形的面积＝,矩形的面积＝. 显然，有. 【例2】用几何图形说明等式成立. 解：曲线 是单位圆在轴上方的部分，面积是. 上半圆的面积是函数在区间上的定积分. 故有等式 （三）定积分的性质 （以下总假设所讨论的函数在给定的区间上是可积的） 性质1 ＝. 性质2 ＝. 性质3 (定积分对积分区间的可加性) 任意三个数、、，总有 性质4 (比较性质) 若在区间上，有， 则，. 【例3】比较下列积分值的大小：  (1)与； (2)与. 解：(1)