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第一章函数 要教学内容及要求 极限与连续 函数的概念（含分段函数），函数的简单性质，基本初等函数、复合函数、初等函数、经济中常用的函数。 数列的极限，函数的极限；无穷小量与无穷大量；极限的运算法则，两个重要极限。 连续函数的概念，初等函数的连续性，函数的间断点，闭区间上连续函数的性质。 【教学要求】 １．了解函数的简单性质，函数的意义。无穷小量与无穷大量，闭区间上连续函数的性质。 ２．理解函数（含分段函数），基本初等函数、复合函数、初等函数的概念、经济中常用的函数在一点的连续性和在区间的连续性。初等函数的连续性。会用两个重要极限求极限。会求连续函数和分段函数极限，会判断函数在一点是否连续，会求函数的连续区间。 ３．掌握复合函数的复合过程，极限的运算法则。 教学重点：复合函数的概念及分解，函数的极限及运算，函数的连续性。 教学难点：函数的极限，函数的连续 §1.1 函数 一.函数的概念 1.常量与变量 2.定义 设X,Y是两个变量,D是一个给定的非空数集,若对每一个数X∈D,按照某一确定的对应法则f,变量Y总有惟一确定的数值与之对应,则称y是x的函数. 记作:y=f(x) x∈D x----函数的自变量 y----函数,因变量 D----定义域 3.函数的二要素 ①函数的定义域 分式:分母≠0 偶次根式:被开方式≥0 对数:真数部分0 例:求函数的定义域 例:求函数的定义域 ②函数值(对应法则) 例:设,求f(1),f(0),f(-1),f(-x),f(f(x)), 例:设f(x)=ln5,则f(x+2)-f(x)等于多少 ③函数的两要素 函数的定义域D和对应法则f称为函数的两要素. 由于定义域和对应法则是决定一个函数的两个要素,因此,在高等数学中两个函数相同是指它们的定义域和对应法则分别相同. 例:判断下列各组函数是否为相同的函数 A B. C. D. 4.函数的几何特性 ①奇偶性 ②单调性 ③周期性 ④有界性 二.函数的表示方法(表格法,解析法,图形法) 三.分段函数 1.定义 在自变量与函数之间,它们的关系要用两个或多于两个的数学式子来表达,即对一个函数,在其定义域的不同部分用不同的数学式子来表达,称为分段函数. 2.函数值 例:,求 3.定义域 例:求上题的定义域 四.反函数 定义:已知函数 x∈D, y∈Z, 若对每一个y∈Z,D中只有一个x值,使得f(x)=y成立,这就以Z为定义域确定了一个函数,这个函数称为函数y=f(x)的反函数,记作 y∈Z 按习惯记法,x作自变量,y作因变量,函数y=f(x)反函数记作 X∈Z 例:求函数的反函数 例:求的反函数 §1.2初等函数 一.基本初等函数 1.常量函数y=c 2.幂函数,y= 3.指数函数,, 4.对数函数,, 5.三角函数,y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx 6.反三角函数,y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx 二,复合函数 定义:已知两个函数 y=f(u),,, ,,, 则函数y=f(Φ(x)) 是由函数y=f(u)和经过复合而成的复合函数.通常称f(u)是外层函数,称是内层函数,称u为中间变量. 例:则 例:则 例:是由复合而成 例:是由复合而成 三.初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合构成的函数,统称为初等函数. 例:将下列函数按基本初等函数的复合与四则运算形式分解; ⑴ ⑵ ⑶ §1.3 极限概念 一,函数的极限 1.时函数f(x)的极限 设函数f(x)在上有定义，A为一个常数，若当x→∞时，函数f(x) 趋于常数A，则称函数f(x)当x→∞时,以A为极限,记作: 或 当时, 函数f(x)以A为极限分别记作: 极限的充分必要条件是极限与 例: ,所以就不存在. 2.x→时函数的极限. ⑴定义 设函数f(x)在点的某邻域内有定义(在可以没有定义),若当x→(但始终不等于)时,函数f(x)趋于一个确定的常数A,则称函数f(x)当x趋于时,以A为极限,记作: 例: , (c是常数) ⑵左极限与右极限 左极限:若当,函数f(x)趋于定数A,则称函数f(x)以A为左极限,记作: 右极限: 若当,函数f(x) 趋于定数A,则称函数f(x)以A为右极限,记作: ⑶存在的充分必要条件 存在的充分必要条件是: 与都存在且且等于A,即 =A= 例:设函数 ,试讨论该函数在x=0处的极限. 例:设函数 讨论该函数在x=1处的极限. §1.4极限运算 一.极限运算法则 1.四则运算法则 设 则①和(差)的极限存在,且==AB ②积的极限存在,且 特别有, ③若,商的极限存在