第一章函数极限连续..docxVIP

函数 极限 连续函数----研究对象极限----研究工具连续----重要性态1.1 函数的概念 设与是两个变量，是给定的非空数集，如果对于每一个，变量按照一定的对应法则都有确定的数值与之对应，则称是的函数，记为。其中为自变量，为因变量，为对应法则，为定义域，全体函数值的集合称为值域，记为。两函数相等的充要条件是它们的定义域和对应法则相同，与函数的代表元素无关。例1 判断下列各组函数是否相等，为什么？ 与 与 与 ④与 ⑤与 常见函数的自然定义域，值域，周期，奇偶性 表1-1函数定义域值域周期奇偶性备注分母不为零偶数次被开方数为非负数，奇数次被开方数为全体实数0对数的真数要大于零零次幂的底数不为零奇有界偶有界奇遇切化弦奇遇切化弦偶遇割化弦奇遇割化弦奇有界非奇非偶有界奇非奇非偶有界 例2 求下列函数的定义域（1） （2）（3） （4）（3）求函数的表达式 ①换元法 ②整体代换法 ③赋值法 ④引参法 ⑤微分方程 例3 已知，求的表达式。 例4 已知，求的表达式。 例5 已知满足，求的表达式。 例6 已知，求的表达式。 例7 已知，求的表达式。1.2 函数的几何特性1.2.1 奇偶性 设函数的定义域关于原点对称，有，则为奇函数；若，则为偶函数。 （1）奇函数关于原点对称，偶函数关于轴对称。 （2）若函数为奇函数，且在处有定义，则。 （3）两偶则和差积商均为偶；两奇则和差为奇，积商为偶； 一奇一偶和差不定，积商为奇；奇奇复合为奇，奇偶复合为偶，偶偶复合为偶；零既是奇函数也是偶函数；非零的常数函数为偶函数。 （4）奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数。 （5）函数奇偶性的前提是其定义域关于原点对称。 （6）（）是关于的偶函数，（）是关于的奇函数。 例8 判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） 例9 已知函数在上有定义，且对于任意的满足，0。证明：为偶函数。 例10 已知函数的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，则下列为奇函数的是（） （B） （C） （D）1.2.2 周期性 设函数的定义域为，若存在一个常数0，且都有，则称为周期函数，且为的最小正周期。 （1）若为函数的周期，则 （2）并不是所有的周期函数都有最小正周期，例如常数函数。 （3）周期函数的导函数仍是周期函数，且周期不变。 （4）若函数的周期为，则函数的周期为。 例11 已知函数既关于对称又关于对称，且证明：为周期函数，且周期为。 例12 已知函数对任意的满足(0)且0，则函数是（）奇函数（B）偶函数（C）周期函数（D）无界函数1.2.3 有界性 设函数的定义域为，数集，若存在正数，使得对于一切，恒有成立，则称在上有界。 （1）函数在其定义域内不一定有界，但是在其定义区间可能有界。即函数的有界性与区间有关。 （2）函数在数集上有界的充要条件是在上既有上界又有下界。 （3）判断函数在区间上是否有界，只需要判断与是否都存在，只要有一个极限不存在则函数在区间上无界。 （4）证明函数无界的方法：①；②反证法 例13 函数在下列哪个区间内有界（） （A） （B） （C） （D） 例14 证明：函数在上无界。1.2.4 单调性 设函数的定义域为，区间，对于区间上的任意两点，若有，则在上单调增加；若，则在上单调减少。 （1）函数在其定义域上不一定单调，但是在其定义区间可能单调。 （2）判断函数单调性的方法：①定义法，②导数法，③图形法。 例15 判断函数在区间上的单调性。 例16 判断函数分别在区间与上的单调性。 例17 设函数在上有定义，0，0，证明：若单调减少，则。若单调增加，则。1.3 常见函数类型1.3.1 反函数 设函数的定义域为，值域为，如果对于每一个，按照一定的对应法则都能在中找到一个与之对应，则称为的函数，记为。函数存在反函数的充要条件是一一对应函数。单调函数必存在反函数，且原函数与反函数具有相同的单调性。原函数与反函数的定义域和值域一般相反，且关于直线对称。求函数的反函数的步骤：①求出原函数的值域；②将原函数中的用表示出来，即；③改变符号,确定反函数的定义域，即，。， 例18 求函数的反函数。 例19 求下列函数的反函数。（1） （2） 例20已知函数的反函数为，求的反函数。1.3.2 分段函数 函数在其定义域的不同取值范围内的表达式不同，式子如下： 或者 （1）函数的子定义域只能在端点处重合。 （2）解决分段函数的原则：对号入座。 （3）几种特殊的分段函数： 1.3.3 复合函数 设函数的定义域为，的值域为，当时，则称函数为的复合函数。不是任意的两个函数都可以复合，即复合是有条件的。求复合函数的表达式的原则：由内到外；求复合函数的导数的原则：由外及内。复合函数的定义域是内层函数与外层函数的定义域取交集。 例21 设，，求， 例22 已知