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设计（论文）题目 运用四点共圆的方法解题的研究 学 院： 人文学院 学生姓名： 曾振城 专业班级： 08级数学教育（1）班 学 号： 2008101135 指导教师： 叶春辉 2011 年5月 29日  目 录 摘 要 Ⅱ 关键词……………………………………………………………………………………… . Ⅱ 0.引言 Ⅲ 1. 四点共圆的判断 1 2. 四点共圆的方法解证题的思路 1 2.1 利用四点共圆模型可以对下列几种问题进行求解： 1 2.2 解题一般思路： 1 3. 四点共圆如何解决不同的数学问题 2 3.1 证明角相等。 2 3.2 证明线段相等（蝴蝶定理） 3 3.3 证明两直线平行 3 3.4 证明两直线垂直 4 3.5 证明线段成比例 5 3.6 判定圆的切线 5 3.7 证明三点共线 6 3.8 证明多点共圆 7 3.9 利用四点共圆或作辅助圆可证明一些较复杂的题目。 7 4.结论 8 参考文献 9 致谢 9 摘 要 在平面几何中，几何题目解题的方法多种多样。“四点共圆”在平面几何证题中就是一个十分有用的模型，在数学竞赛中也经常出现。有些几何问题，虽然表面与圆无关，但若能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务。文章主要探讨了平面几何里运用“四点共圆”这一模型解题的方法。先总结了四点共圆的判定方法，然后运用这些方法将原本较为复杂的几何题目构件出四点共圆的模型，用其丰富性质来解题。使问题由难变易，迎刃而解。从中激发学生学习的热情，调动学生对几何的学习兴趣。形成发散性思维和培养创新能力，使学生能够对解题举一反三让学生思维辩证能力得到锻炼。 关键词：平面几何；四点共圆；解题方法；研究 0.引言 平面几何对训练学生的逻辑思维能力有其他学科难以取代的功能，这是不容置疑的。逻辑思维在生活和生产实际中有广泛的应用。因此，平面几何教学在初中数学教学中有重要的地位。初中平面几何是将逻辑性与直观性相结合，通过各种图形的概念、性质、作图及运算等方面的教学，发展学生的逻辑思维能力、空间观念和运算能力，使他们初步获得研究几何图形的基本方法，而这些知识的教学，主要是通过逻辑推理(即几何证明)来实施的。进行几何证明需要一定的观察能力和分析能力，特别是逻辑思维能力更为重要。但是，这种形式化的推理方法需要规范而严密的语言来表达，学生难以掌握和适应，给初中生理解、掌握和应用几何知识解决实际问题带来了困难。 如果对于一类问题能够进行总结，归纳出其中的内在联系，这样就有利于人们的学习和工作。本文就四点共圆这一类问题进行了探讨，总结了其判定的方法和运用其解题的方法，使学生在学习这类问题的时候能够举一反三，将这种发散和创新的思维运用到其他的问题解决上。培养其思维能力。 1.四点共圆的判断 四点共圆既然是几何证题中十分有用的工具，那么怎么样才能知道四个点是共圆的呢？下面就直接给出四点共圆的几个判断方法。同样的其逆命题也成立，即假如有四个点是共圆的 ，那么这四个点所构成的图形也有相应的性质和结论： 定理1-1 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在同一圆周上； 定理1-2 同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆； 定理1-3 同斜边的直角三角形的各顶点共圆； 定理1-4 如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆； 定理1-5 如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么四边形的四个顶点共圆； 定理1-6 若两线段相交于点，且AE·EB=CE·ED，则zA、B、C、D 四点共圆； 2.四点共圆的方法解证题的思路 上述的四类中有六种基本方法。每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明。 2.1利用四点共圆模型可以对下列几种问题进行求解： (1)证明角相等；(2)证明线段相等；(3)证明两直线平行；(4)证明两直线垂直；(5)证明线段成比例；(6)判定圆的切线；(7)证明三点共线；(8)证明多点共圆。 2.2解题一般思路： (1)分析题目中已知条件和要求证的问题； (2)挖掘题目中的隐含信息，找出满足四点共圆的点； (3)根据所要求证的问题和条件，添置辅助线、构造圆； (4)将非圆的平面几何图形中的有关线段、角等借助四点共圆中许多圆的性质沟通题设条件和结论的联系，得到简捷的证明。 这里的“圆”起到了“四两拨千斤”的作用，平面几何中有些关于角的相等、线段相等、直线的