Ch1-2行列式性质.ppt

§2 行列式的性质 性质2 性质3 性质4 性质6 二、用性质计算行列式 例1 (P12例7) 例2 例3(P13 例9) 例4(P14 例10) 设 证 例5(P15例11) ? 对称行列式与反对称行列式 小结 性质 行列式的计算 * * * * 行列式性质对行成立的对列也成立 D的转置行列式 一、性质 设 ? 性质1 上页 ? 今后行列式的各性质只需仅对行进行讨论即可！ 上页 = - D = D1 | | aj pi | | ai pj 交换 D 的 i, j 两行： 互换行列式的两行则行列式变号 . 则行列式为零. 若行列式中有两行元素完全相同, 推论 不要误解为是遍乘行列式的所有元素！ 等于用数 k 乘此行列式. 某一行所有元素的公因子 k = kD 用数 k 乘行列式某一行中所有元素, 可提到行列式号的外面. 上页 即 若行列式中有两行元素对应成比例? 推论 ? 用数 k 乘一行列式只是乘其某一行， 若行列式某行的元素是两数之和, 推论 若行列式某行的元素都是 m 个元素的和，则行列式 可写成 m 个行列式的和. 则行列式为零. 性质5 上页 若行列式中有两行元素对应成比例, 则行列式可拆成 两个行列式的和. 即： 两个行列式可以对应元素相加吗？ 相反, 它意味着两个行列式能够相加的要求很高！ b_pi ? 性质5并不意味着行列式具有对应元素相加的性质. 行列式某一行元素加上另一行对应元素的 k 倍, 行列式的值不变. 即： 可对行列式做 行 或 列 的变换,使得某些元素变为零 上页 化行列式为三角形 可化行列式为三角形 可使行列式恒等变形 记号(三类六个)： 六 条 10 转置值不变; 20 互换两行变号; 40 有两行成比例值为0; 60 某行的k倍加到另一行上值不变. 30 可提取某行公因子; 50 按行可拆为两个的和; 上页 ? 性质6是最为重要的一条性质,它与性质2和性质3的推论一起常用于计算行列式. 实际上,它们抽象自解方程的消元法. 后次运算在前次基础上, 运算次序与标注次序同, 从上到下! 反复使用行列式的性质， 将行列式化为上(下)三角行 列式，从而算出行列式的值 且只做行(或列)的变换即可. 上页 各行(列)元素之和相等 计算 解 如 请牢记这类题的做法 上页 P12例8 不能颠倒运算次序 计算 从第 4 行开始, 前行减后行： 解 0 对后 n 列作列变换时, 前 k 列和右上角的元素也不改变 对前 k 行作行变换时, 后 n 行和右上角的元素不会发生改变 上页 记 试证 再对 D 的前 k 列作同于D2 的列变换， 则 D 可被化为下三角形行列式 0 先对 D 的前 k 行作同于D1 的行变换， 上页 且关于块的运算同于行列式的运算. ? 例题的深刻意义:行列式可进行某种分块运算, 与第 2n-1 行对调, 2n-2次 相邻对换 计算 2n 阶行列式 其中未写出的元素为 0. 解 把 D2n 中的第 2n 行 依次 、 2n-2 行对调, …, 第2行对调: 再把第 2n 列依次与第 2n-1 列, …, 第 2 列对调 2n-2 次, 得 由例4, 有 以此作递推公式 对称行列式. 反对称行列式. 若 n 为奇数 奇数阶反对称 行列式= 0 背! 上页 20 互换两行变号; 30 可提取某行公因子; 60 某行的k