CFD数值模拟原理-3.ppt

§2-5 离散方程的相容性、收敛性及稳定性 1 ）相容性 引入微分算子： 差分算子： 设 是差分方程的精确解， 但 截断误差是整个差分方程与微分方程精确解的差异。 当Δt，Δx→0，如果TE→0，两者相容。 截断误差＝离散误差＋数值计算的舍入误差 研究表明：离散误差是主要误差 2）收敛性 ① 离散误差：网格节点(i,n)上差分方程的精确解 偏离该点上相应的微分方程精确解Ф(i,n)的值 ② Δt→0，Δx→0，如果各个节点的离散误差都趋于零 表示该差分方程（格式）收敛 差分格式的收敛性证明困难 线性初值问题：稳定是收敛的充分必要条件 3）稳定性 设数值解（计算出的实际结果）为 ，差分方程的精确解 舍入误差： 舍入误差取决于计算方法及计算机的字节长 注：计算实验表明，误差主要来源于离散误差 例 2－1 方程： 采用二阶、四阶截断误差格式 二阶格式： 四阶格式： 精确解 结果比较 网格影响(网格数加密一倍) 结论： 对流传热，网格不一定愈密愈好，增加舍入误差 二阶，精度比较合适 网格增加，一般精度增加，计算时间也增加 稳定与不稳定是差分格式的固有属性。 稳定：任何扰动信息被放大是有限的；否则，不断放大 发散 §2-6 分析初值稳定性“冯诺曼”方法 1） 误差过程的传递 如 T(x,0)=F(x) T(0,t)=f1(t) T(l,t)=f2(t) FTCS: 令 设计算中，初始值引入误差矢量 初值有误差时的相应解 误差解－精确差分解 对于线性初值问题，如果边界值的计算中有误差，误差的传递规律于原差分方程完全一样。 结论：分析稳定性，可用原差分方程来分析误差的传递情况 2)分析思想 计算中，误差的产生是随机的，可以理解为是任一种随时间变化的函数，由Fourier变换可知，这种变化总可以理解为是由各种频率的波组成。 典型的假设，引入某个频率扰动波： ψ(t)eIiθ ψ(t) 是t扰动的振幅 如果这一扰动的强度（振幅）是随时间推移不断增大——不稳定 ψ(t+Δt)/ψ(t)1 是稳定条件 3）一维模型FTCS的稳定性 引入网格Re数 Re＝uΔx/a≤2 =初值问题显式格式的不稳定性是由于时间步长过大而引起的 =差分格式稳定性分析的目的是要找出所能允许的最大时间步长 =满足稳定性条件的解，不一定能保证得出具有物理意义的解 § 2-6 离散方程的守恒性 1) 数值计算的目的是获得具有物理意义、尽可能准确的解。 具有同一截断误差的不同差分格式，在物理特性上不同，仅从截断误差来判断差分格式是不全面的。还应研究差分格式的物理特性与实际物理现象之间有什么差别。 守恒性：差分方程在定义域的任一有限空间内求和，所得的表达式满足该区域上物理守恒的关系时——差分格式具有守恒特性。 2.如何使差分格式具有守恒性 条件： 1)控制方程守恒 2)在同一分界面上，各物理量(Ф及物理参数)及Ф的一阶导数是连续的 如果在e面上采用二次曲线的方式变成差分方程，守恒性破坏，主要是切线不相等——积分平衡法中的型线只能采用线性－线性平均方法。 3.守恒性的意义 采用守恒性差分方程， 使计算结果与原物理问题保持一致； 分析差分格式的截断误差是对任意控制体而言，如果相连的控制体的界面上的截断误差能相互抵消，则对该体积进行差分计算时，总的误差只有在边界处理时存在。—误差可控。否则，由于界面上误差的积累，会使总体误差增加——远离物理问题。 4.结论 封闭系统（内部流）—必须用守恒型 开口系统（无穷大空间的流动问题）——未必，有时非守恒型可能更好 * 离散误差 舍入误差 1 0.3918 0.1348 0.0505 0 四阶 1 0.3944 0.1552 0.0582 0 二阶 1 0.3679 0.135 0.0473 0 精确 Ф5 Ф4 Ф3 Ф2 Ф1 格式 0.3679 0.1350 0.0473 精确 0.3752 0.1404 0.0502 加密后 0.3944 0.1552 0.0582 加密前 Фx=3 Фx=2 Фx=1 网格 误差 x y -1 1 1-2r Δx 进口 出口 l1 I