偏微分方程数值解（参考）.docxVIP

一类二阶常微分方程的差分格式1.引言考虑二阶常微分边值问题：⑴最简形： 其中为上已知的连续函数，为已知常数。⑵变系数： 其中为上已知的连续函数，为已知常数。⑶守恒形： 其中为上已知的连续函数，为已知常数。2. 差分格式将区间分成N等分（N为正整数），则对步长，将进行网格剖分，则网格节点为.⑴最简形：对充分光滑的解，由Taylor展开式在处展开得： ① ② 由 ① + ②：③ ④ ⑤用二阶差商代替点处二阶导数得到： ⑥带入原方程：， ⑦其中.则当时，是的二阶无穷小量，舍去即得到逼近方程的差分方程： ⑧即为截断误差。考虑到边值条件，组成关于的差分格式： ⑨其解是于的近似，称⑨为逼近。⑵变系数：对充分光滑的解，由Taylor展开式在处展开得：①② 由 ① - ②：③ ④用一阶差商代替点处一阶导数得到： ⑤带入原方程得到⑥： 其中.则当时，是的二阶无穷小量，舍去即得到逼近方程的差分方程： ⑦即为截断误差。考虑到边值条件，组成关于的差分格式： ⑧其解是于的近似，称⑨为逼近。⑶守恒形：对充分光滑的解，由Taylor展开式在处展开得： ① ② 由 ① - ②： ③ ④ 用一阶差商代替点处一阶导数得到 ： ⑤同理得到点处一阶导数⑥：用二阶差商代替点处二阶导数得到⑦： 带入原方程得到：， 其中.则当时，是的二阶无穷小量，舍去即得到逼近方程的差分方程： ⑧即为截断误差。考虑到边值条件，组成关于的差分格式： ⑨其解是于的近似，称⑨为逼近。3.格式求解⑴最简形： ⑩考虑与⑩可写为 ⑵变系数： ⑩考虑与⑩可写为 ⑶守恒形： ⑩考虑与⑩可写为4.数值例子⑴最简形：计算如下两点边值问题： 其精确解为 。将区间做N等分，记.绝对误差最大值记为.表1列出了4个结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解。表2给出不同步长时在这4个结点处所得数值解的绝对误差。表3给出不同步长时在这4个结点处所得数值解的最大误差图1给出了取不同步长时所得的数值解曲线。图2给出了精确解曲线和取h=π/10时所得数值解曲线。图3给出了取不同步长时所得数值解的误差曲线。表1 部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解hxπ/52π/53π/54π/5π/101.064006657723173.266547950347426.166190953632747.17872520542625π/201.092311140592203.322830064623116.239354819138907.23703886968308π/401.099409548548123.336920147061516.257627876805947.25154646861715π/801.101185528775123.340443837347326.262194912740827.25516880025087π/1601.101629609734983.341324832185986.263336593206527.25607409539735精确解1.101777644352513.341618503537926.263717146344477.25637583481747表2 取不同步长时部分结点处数值解的误差绝对值hxπ/52π/53π/54π/5π/100.03777098660.07507055320.09752619270.0776506294π/200.00946650380.01878843890.02436232720.0193369651π/400.00236809580.00469835650.00608926950.0048293662π/805.921156e-040.00117466610.00152223360.0012070346π/1601.480346e-042.9367135e-043.805531e-043.017394e-04表3 取不同步长时部分结点处数值解的最大误差h π/100.0975261927*π/200.02438907473.9988π/400.00611500673.9884π/800.00152863844.0003π/1603.821525e-044.0000图1图2图3⑵变系数：计算如下两点边值问题： 其精确解为 。将区间做N等分，记.绝对误差最大值记为.表1列出了4个结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解。表2给出不同步长时在这4个结点处所得数值解的绝对误差。表3给出不同步长时在这4个结点处所得数值解的最大误差图1给出了取不同步长时所得的数值解曲线。图2给出了精确解曲线和取h=π/10时所得数值解曲线。图3给出了取不同步长时所得数值解的误差曲线。表1