高考数学 （知识整合+方法技巧+例题分析）分类讨论思想在解题中的应用拿分题训练.docVIP

2014高考数学“拿分题”训练：分类讨论思想在解题中的应用 一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。 2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。 4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或避免分类讨论。 二、例题分析 例1.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. B. C. D. 分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a, 当a=0时，直线过原点，此时直线方程为； 当时，设直线方程为，方程为。 例2． 分析： 因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。 解： 这与三角形的内角和为180°相矛盾。 例3.已知圆x2+y2=4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。 分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P的直线分两种情形：（1）斜率存在时，…（2）斜率不存在… 解（略）：所求直线方程为3x-4y+10=0或x=2 例4. 分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。 解： 例5. 分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对x分类。 解： 例6. 分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a0或a0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。 解： 综上所述，得原不等式的解集为 ；； ；； 。 例7.已知等比数列的前n项之和为，前n+1项之和为，公比q0，令。 分析：对于等比数列的前n项和Sn的计算，需根据q是否为1分为两种情形： 故还需对q再次分类讨论。 解： 例8. 分析： 解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示直线； （2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线； （i）当k4时，方程表示双曲线；（ii）当4k6时，方程表示椭圆； （iii）当k=6时，方程表示圆；（iv）当6k8时，方程表示椭圆； （v）当k8时，方程表示双曲线。 例9. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？ 分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类： （1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能