高考数学 高频考点归类分析 三角函数与其它知识的综合问题（真题为例）.docVIP

三角函数与其它知识的综合问题 典型例题： 例1. （2012年重庆市理5分）设是方程的两个根，则的值为【 】 （A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3 【答案】A。 【考点】两角和与差的三角公式，一元二次方程根与系数的关系。 【分析】∵是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得。 ∴。故选A。 例. （2012年陕西省理5分）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为【 】 A. B. C. D. 【答案】C。 【考点】余弦定理，基本不等式的应用。 【解析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值： 　　　　∵，∴。 ∴由余弦定理得，当且仅当时取“=”。 ∴的最小值为。故选C。 例. （2012年上海市文4分）函数的最小正周期是 ▲ 【答案】。 【考点】行列式的基本运算，三角函数的值域，二倍角公式。 【解析】∵, ∴函数的最小正周期是。 例. （2012年安徽省理5分）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 ▲ ①若；则 ②若；则 ③若；则 ④若；则 ⑤若；则 【答案】①②③。 【考点】余弦定理的应用，余弦函数的性质，不等式变形。 【解析】根据余弦定理逐项分析： ①∵，∴。∴。命题正确。 ②∵，∴。∴。命题正确。 ③∵，∴。 ∵， ∴。命题正确。 ④∵， ∴。∴。命题错误。 ⑤以例反证，取满足， 则。 又∵，∴。命题错误。 例 （2012年福建省理4分）已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 ▲ ． 【答案】。 【考点】等比数列的性质，余弦定理的应用。 【解析】∵△ABC的三边长成公比为的等比数列，∴设三角形的三边分别是：a、a、a。 ∵最大角所对的边是a， ∴根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理得：。 ∴最大角的余弦值为。 例 （2012年全国大纲卷文10分）中，内角、、成等差数列，其对边、、满足，求A． 【答案】解：∵中，内角、、成等差数列，∴。∴，。又∵，∴根据正弦定理，得。∴。 ”进行均值换元，设 ，。 则，化简，得。 ∴。∴或。【考点】解三角形的运用，等差数列的性质，三角形的内角和定理，正弦定理，两角和的三角函数。 【解析】根据角、、成等差数列和三角形内角和定理可得，。由应用正弦定理和两角和的三角函数，化简等式，求出答案。 例 （2012年山东省理12分）已知向量m=（sinx，1），函数的最大值为6。（Ⅰ）求A； （Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。 【答案】解：（Ⅰ）。 ∵函数的最大值为6。而 ∴。 （Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象， 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数。 当时，，.。 ∴函数g（x）在上的值域为。 【考点】向量的运算，三角函数的值域，函数图象平移的性质。 【解析】（Ⅰ）求出函数关于的表达式，化简后根据三角函数的值域确定A。 （Ⅱ）由平移的性质，求出g（x），由得出的范围，从而求得函数g（x）在上的值域。 例 （2012年山东省文12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，已知 . (Ⅰ)求证：成等比数列； (Ⅱ)若，求△ABC的面积S. 【答案】解：(Ⅰ)由已知得：，即。 ∵， ∴。 由正弦定理，得，∴成等比数列。 (Ⅱ)若，则， 由余弦定理，得， ∴。 ∴△ABC的面积。 【考点】正弦定理和余弦定理的应用，和的三角函数公式，同角三角函数公式，等比数列的判定。 【解析】(Ⅰ)根据和的三角函数公式化简，求得三角正弦之间的关系，由正弦定理推出结论。 (Ⅱ)由余弦定理求出的余弦，从而根据同角三角函数公式得到正弦，应用面积公式求解。 例 （2012年湖北省理12分）已知向量，设函数的图像关于直线=π对称，其中为常数，且 （Ⅰ）求函数的最小正周期；（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。 【答案】解： 。 （Ⅰ）∵函数的图像关于直线=π对称，∴。 ∴。 又∵，∴。 ∴的最小正周期为。 （II）若的图像经过点，则有，∴。 ∴。 ∵，∴。∴。 ∴函数在区间上的取值范围为。 【考点】数量积的坐标表达式