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1B训练1 1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为,过点(?2，?4)的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点． （Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （Ⅱ）若，求的值． 2．极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为. （Ⅰ）求的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求弦长. 3．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设曲线和曲线的交点为、，求. 4．已知函数,, 若恒成立，实数的最大值为. （1）求实数. （2）已知实数满足且的最大值是，求的值．5．（本大题9分）已知大于1的正数满足 （1）求证： （2）求的最小值. 6．已知对任意，恒成立（其中），求的最大值. 答案 1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为,过点(?2，?4)的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点． （Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （Ⅱ）若，求的值． 【答案】（Ⅰ）直角坐标方程为，普通方程为；（Ⅱ）. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由得，极坐标方程得，将参数方程中的参数消去可得的普通方程；（Ⅱ）将参数方程代入直角坐标方程化为关于的一元二次方程，结合条件利用韦达定理解出. 试题解析：(1) 由得 ∴曲线的直角坐标方程为 2分 直线的普通方程为 4分 (2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中， 得 设两点对应的参数分别为 则有 6分 ∵ ∴ 即 8分 ∴ 解之得：或 (舍去) ∴的值为 10分 考点：1.参数方程；2.极坐标方程；3.一元二次方程的解法. 2．极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为. （Ⅰ）求的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求弦长. 【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）. 【解析】 试题分析：本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长. 试题解析：（Ⅰ）由，得，即曲线的直角坐标方程为． 5分 （Ⅱ）将直线l的方程代入，并整理得，，，． 所以． 10分 考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理. 3．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设曲线和曲线的交点为、，求. 【答案】(1) ,；(2) . 【解析】 试题分析：（1）换元将代入化简由参数方程化为普通方程；（2）由公式，，化简得. 试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为． 5分 （2）曲线可化为，表示圆心在，半径的圆，则圆心到直线的距离为， 所以． 10分 考点：1.参数方程与普通方程互化；2.极坐标与直角坐标互化. 4．已知函数,, 若恒成立，实数的最大值为. （1）求实数. （2）已知实数满足且的最大值是，求的值．（）20；（）（）函数的图象恒在函数图象的上方，即， ， ，因此，实数的最大值. 3分 （Ⅱ）由柯西不等式： ，，所以，因为的最大值是1，所以，当时，取最大值， . 7分 考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式. 5．（本大题9分）已知大于1的正数满足 （1）求证： （2）求的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）3. 【解析】（1）根据柯西不等式证明即可. (2) 然后再根据柯西不等式证明即可. 证明：（1）由柯西不等式得： 得： （2） 由柯西不等式得： ，所以， 得 所以，当且仅当时，等号成立.故所求的最小值是3