(恒成立问题与有解问题的区别.docVIP

恒成立与有解或ⅱ）亦可合并定成 同理，若在[m,n]内恒有f(x)0，则有 例1、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。 略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+10,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有： 即解得： ∴x-1或x3. 2恒成立问题与二次函数联系 若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 例2、设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。 分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题。 解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)当=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x[-1,+)，F(x) 0恒成立； ⅱ）当=4（a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件： 即 得-3a-2; 综合可得a的取值范围为[-3，1]。 1.3恒成立问题与变量分离联系 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 例3、已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。 分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。 解：原不等式即：4sinx+cos2x-a+5 要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33, ∴-a+53即a+2 上式等价于或 解得。 注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。 构造函数、区间最值求解 例1、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。 分析：如果时，恒有意义，则可转化为恒成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。 解：如果时，恒有意义，对恒成立. 恒成立。 令，又则对恒成立，又在上为减函数，，。 例2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。 分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。 解：是增函数对于任意恒成立 对于任意恒成立 对于任意恒成立，令，，所以原问题，又即 易求得。 已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。 方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。 解：原不等式 当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立 设则 ∴ 方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。 解：不等式a+cos2x5-4sinx可化为 a+1-2sin2x5-4sinx,令sinx=t,则t[-1,1], 不等式a+cos2x5-4sinx恒成立2t2-4t+4-a0,t[-1,1]恒成立。 设f(t)= 2t2-4t+4-a，显然f(x)在[-1，1]内单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a2 数形结合 、特值探求 设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。 分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。 解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x[-1,+)，F(x) 0恒成立； ⅱ）当=4（a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件： 即 得-3a-2; 综上所述：a的取值范围为[-3，1]。 例5、当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a