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3-RPR平面并联机构分析 引言 并联机构相对于串联机构具有输出精度高、结构刚性好、承载能力强、部件简单、运动学逆解简单等优点.自hunt对6自由度并联机构Stewart 的研究后，并联机构已被广研究并应用，少自由度的并联机构结构简单，造价低廉，容易控制，是很有实用前景的机构，其中三自由度可以满足大多数的工业操作，降低机构的复杂程度和成本，简化运动学和动力学模型，控制简单，许多的研究工作者提出了多种形式的三自由度并联机构。但是大多数研究集中在三维平移并联机构，缺乏把转动和移动结合起来的三自由度并联机构。本文对3- RPR 机构做了位姿分析，它的三个输入杆的长度可以改变，使其更好的实现柔性输出,然后通过对机构Jacobian 矩阵的求解，进行了该机构的奇异性分析。 一．3-RPR并联机构构型 3-RPR是一个典型的平面并联三自由度机构，其参数表示如图1所示。3-RPR具有2个平动和1个转动共3个自由度。通过、、三个杆的伸长和缩短来控制平台的平动和转动，该机构以这三个杆作为输入，运动平台上的点作为输出。为了便于分析，引入以 边为轴，点为原点的动坐标系，其中轴与水平夹角为，点即点在 坐标系中的坐标为，以运动平台的参数作为输出，只要求出了动坐标系的位置，则运动平台上的任意点就可以求出。 图1. 3-RPR平面并联机构 此外文献[1]还提出了一种新的3-RPR空间机构的构型,见图2.在本文中,分析的是3-RPR平面机构构型. 图2. 3-RPR空间并联机构 1.1自由度分析 由于该机构为对称机构，我们先对单个分支进行分析，分支坐标系原点与定平台R副中心相重合，平面即为R副所在平面，具体方向见图3. 图3.单个分支坐标系 易得该分支的运动螺旋系为： 该分支约束反螺旋为 有三个公共约束即，机构的阶数 另外该机构没有冗余约束和局部自由度。由修正的G-K公式得 机构的自由度 二．位置分析 运动平台在平面位置和转动角度共同描述，二者合称为位姿。位姿分析就是求解机构的输入和输出之间的位置关系，包括位姿正解和位姿逆解。同串联机构相比较，并联机构的位姿逆解比较简单，位姿正解则比较复杂。 在图1所示坐标系下，已知在全局（定）坐标系中B1（0,0），B2（a,0），B1（b,c），动坐标系中P1（0,0），P2（d,0），P3（e,f），设,动坐标系x轴正方向相对于定坐标系x轴正方向的转角为（逆时针为正，顺时针为负）。 动坐标系相对于定坐标系的位姿变换矩阵为 易得，点Pi在全局坐标系中的坐标为 2.1位姿反解 位姿反解就是通过对已知输出的位姿量，求解输入的位姿量、、. 由几何约束得 即为位姿反解. 2.2位姿正解 位姿正解就是已知输入的位姿量、、，求解输出的位姿量的过程。 由几何约束得 由三角平台式并联机构的封闭解法,我们对上式进行整理得 其中, 进一步整理得 解得 代入 得 此式只与有关,通过三角换元 ，上式化简成关于的六次多项式,可以求出关于的多组封闭解,从而求出。 本文用数值解法试算了一下,给定如下的参数 画出一元六次多项式的曲线,如图4 图4. 关于t的六次曲线 得到八组解 ,,, 文献[2]用“吴方法”求其封闭解，最终表达式也为六次多项式,在给定的算例中数值解有六组。 三．一阶影响系数矩阵-雅克比矩阵 Jacobian 矩阵又称一阶运动影响系数矩阵，反映机构输入速度和输出速度之间的关系，是并联机构中的一个重要的概念，是并联机构设计的基础，通过分析Jacobian矩阵，不仅可以计算出机构的运行速度，还可以解释多项运动性能，比如奇异性、各项同性、刚度、灵巧性等。因此建立Jacobian 矩阵是少自由度并联机构设计中的一项重要的任务。 对等式两边求导得 整理得 输入矩阵为 输出矩阵为 雅克比矩阵为 四. 奇异性分析 由前文的分析可知，雅克比矩阵是由输出矩阵的逆与输入矩阵的点积,由线形代数相关知识对方阵有 雅可比矩阵奇异分为两种情况:输入矩阵奇异和输出矩阵奇异[3] 4.1输入矩阵奇异 当 出现奇异,也称为边界奇异,如图5. 图5. 3-RPR第一种奇异位形 4.2输出矩阵奇异 观察得矩阵第一列,第二列分别为, , 的X轴分量和Y轴分量若要出现奇异则1）有两列线性相关 第一列与第二列线性相关,即, , 互相平行，图6； 第一列或第二列与第三列线性相关,见图7,及与其类似的情况； 若第一列或第二列为全零,则, , 为竖直或水平方向,可归入此类中 图6. 3-RPR第二种第一类奇异位形 2）第三列全为零,即 即 不难看出: 与X轴夹角为 平行即共线且在之间 该奇异位形如图8 图8. 3-RPR第二种第三类奇异位形 结论