[中国矿业大学徐州02级数学分析1试题A卷.docVIP

数学分析(上)试题 （适用数学系2002级，120分钟，2003年1月15日） 班级____________姓名____________序号_______成绩____________ 一、求解下列各题（每题4分共40分） 1．（为常数） 2． 3． 4．求使在点可导。 5．求在上的最大值与最小值。 6． 7． 8．（） 9．（） 10．（） 二（10分）、设在区间上有界，记 称为函数在区间上振幅。证明 三（10分）、设在有限开区间上连续，证明在上一致连续的充要条件是与都存在且有限。（提示使用一致连续性定理） 四（10分）、证明：方程（为常数）在区间内不可能有两个不同的实根。 五（10分）、设在连续，在可导，证明：如果存在，则也存在，且。并由此结论证明，如果在区间上可导，则不存在第一类间断点。 六（10分）、设为上的非负连续函数，证明：如果，则。 七（10分）、设在上有界，，，证明：若在上只有为其间断点，则在上可积。 附加题（10分，仅作参考）、 设是区间上的凸函数，证明在的任一内点（非区间端点）上连续。 数学分析(上)试题参考答案 （适用数学系2002级，120分钟，2003年1月15日） 一、求解下列各题（每题4分共40分） 1．（为常数） 【解】记，显然，说明有下界。又由于 所以充分大时（从某一项以后）有，说明单调下降。由单调有界定理知，有极限，记它为。 在递推关系式两边取极限得，即 2． 【解】Taylor展开 ， 3． 【解】当时，，故 4．求使在点可导。 【解】首先在点要连续。由和得。 当时，。由和，根据导数极限定理，令，此时在点可导，且有。 综上， 5．求在上的最大值与最小值。 【解】 令得驻点，计算 ，，， 最大值，最小值 6． 【解】 其中 7． 【解】下面用到等价无穷小和L’Hospital法则等 8．（） 【解】当时，显然原式 当时，原式 综上，原式 9．（） 【解】 递推，而 故 10．（） 【解】 二（10分）、设在区间上有界，记 称为函数在区间上振幅。证明 【证】只证的情况，否则为常数结论显然成立。 一方面，由，知（） 于是 另一方面，由确界的定义，对（不妨），使 ， 这时 综上两个方面，得■ 三（10分）、设在有限开区间上连续，证明在上一致连续的充要条件是与都存在且有限。（提示使用一致连续性定理） 【证】充分性。定义，，则为闭区间上的连续函数，由一致连续性定理即Cantor定理，知在上一致连续，从而在上一致连续。 必要性。由在上一致连续知，对，，对只要，就有。特别地取并满足，，此时，当然有，由Cauchy收敛准则，存在。同理也存在■ 四（10分）、证明：方程（为常数）在区间内不可能有两个不同的实根。 【证】反证。假设在内有两个不同的零点，由Rolle中值定理，，使。但的零点只有，矛盾■ 五（10分）、设在连续，在可导，证明：如果存在，则也存在，且。并由此结论证明，如果在区间上可导，则不存在第一类间断点。 【证】 （其中）。当时，有，由假设条件存在，即存在。说明存在且。同理可证，如果存在，则也存在，且。 下证导函数不存在第一类间断点。对，如果和都存在，由上述结论和存在，知必有，这说明在点连续■ 六（10分）、设为上的非负连续函数，证明：如果，则。 【证】反证。不妨假设，由连续函数的性质，存在，当时，有。 。矛盾■ 七（10分）、设在上有界，，，证明：若在上只有为其间断点，则在上可积。 【证】不妨设，对，由知，在和内只有的有限个点（这里不妨充分小，满足）。由可积性定理，在区间和上都可积。从而由可积准则，存在上的分割，使，存在上的分割，使，而在区间上有（其中为在上的振幅）。这样把，，合并成上的分割就有 再由可积准则，知在上可积■ 附加题（10分，仅作参考）、 设是区间上的凸函数，证明在的任一内点（非区间端点）上连续。 【证】（I）弦斜率函数是增函数。这一点由凸函数的充要条件：对上任意三点有 易知。 (II) 其次证明对的任一内点，和都存在。当时，由是增函数且有界（这里任取固定），由单调有界定理，得存在。同理存在。 (III)最后证明在的任一内点上连续。由存在，即，即得在左连续。同理由存在，得在右连续。因此在处连续■