[中国矿业大学徐州2010级、1011数学分析2试卷A与参考答案.docVIP

中国矿业大学10～11学年第2学期 《 数学分析(2) 》试卷(A) 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 学院__________班级__________姓名__________学号__________ 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 阅卷 一、计算题（每题5分共40分） 1. 求不定积分。 解 （答案可能错了） 2. 求不定积分。 解 , 3. 求定积分。 解 令 4. 求极限。 解 5. 求摆线一拱的弧长。 解 6. 求椭球所围的体积。 解 以平面截椭球得椭圆 该椭圆的面积为 椭球的体积为 7. 求反常积分 解 （上面是取极限的简写） 8. 求级数的和。 解 二（10分） 设为上的非负连续函数，证明：如果， 则。 证 反证。不妨假设，由连续函数的性质， 存在，当时，有 于是 这与矛盾。 三（10分） 证明微积分基本定理: 设在上连续，， 则在上可导，并且。 证 （方法一），，由积分中值定理 于是，由的连续性 （方法二）证明下面更广的微积分基本定理：设在上可积，， 在点连续，则在点可导，并且。 由在点连续，对，，当时，有 于是 这说明，在点可导，并且。 四（10分）若为上连续增函数， 证明为上增函数。 证 当时，由 以上用到了积分中值定理（也可由得） 知在上增，又 (这里用了洛必达法则) 知在点连续，从而在上增。 五（10分）讨论级数的收敛性（包括条件收敛，绝对收敛）。 证 考虑，由 得当时（任意），绝对收敛（从而本身也收敛） 当时，发散，从而发散。这是因为用比式（或根式）判别的发散，其一般项不趋于零。 当时，这是Leibniz型级数，收敛。再考虑 这是级数，收敛，绝对收敛。，发散，条件收敛。 综上，，绝对收敛；，发散；，绝对收敛；，条件收敛. 六（10分） 求幂级数的收敛域及其和函数。 解 易求得收敛半径，且当时都收敛，故收敛域为。 利用 得 因此 显然， 七（10分）把函数在上展开为余弦级数，并推出 解 由作偶延拓，画草图。 （用两次分部积分） 延拓后是连续函数，故 上式令得 1