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中国矿业大学07~08学年第二学期 《数学分析(2)》试卷（A）卷 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 院系__ _______班级___ ______姓名__ ________学号___ _______ 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得 分 阅卷人 一、填空题（每空3分共30分） . 2． . 3． . 4． 心形线的周长为__ _______. 5． . 6．级数__________________（绝对收敛或条件收敛或发散）. 7．级数的收敛域为 . 8．设，其中,具有一阶连续(偏)导数,则 . 9．函数在点沿方向的方向导数 . 10．曲面在点 处有水平的切平面. 二（10分 在点的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数. （注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由.） 三（10分展开为关于的幂级数并指出收敛域. 四（10分展开为余弦级数并指出收敛性，再利用该级数 证明: . 五（10分在上可导，且使. 六（10分收敛，证明和都绝对收敛. 七（10分绕轴旋转所得的旋转曲面的表面积． 八（10分，证明：. 中国矿业大学07~08学年第二学期 《数学分析(2)》试卷（A）卷参考答案 一、填空题（每空3分共30分）. 2． . 3． . 4． . 5． . 6．发散. 7．. 8．. 9．. 10．. 二（10分 在点的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数. （注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由.） 解：若取直线路径，极限； 若取路径为则， 所以二重极限不存在. 对任意，，故 。 对任意，，，所以不存在。从而也不存在。 , , . 三（10分展开为关于的幂级数并指出收敛域. 解：因为 ，， 故 ，， 又 ，， 有 ， 所以 ，. 四（10分展开为余弦级数并指出收敛性，再利用该级数 证明: . 解：作偶延拓为 令，. 令，则 解之得 . 五（10分在上可导，且使. 证：由积分中值定理知，，使 ， 那么由条件.若令，，则有 . 由Lagrange定理，知，使得 ， 整理即得. 六（10分收敛，证明和都绝对收敛. 证：因为收敛，故那么对，存在，当时，有 ，进而，由正项级数的比较法可知绝对收敛. 同理收敛,又收敛，而 , 故 绝对收敛． 七（10分绕轴旋转所得的旋转曲面的表面积． 解: 。 八（10分，证明：. 证：由，从而有界，即存在正数,使得.又任给，则存在分割，使得 . 对于上所属的每一个，利用Lagrange中值定理有 (其中在与之间). 所以有 ， 也就是. 9