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中国矿业大学试卷 数学分析(I)试题(A卷) （适用于理学院07级学生，考试时间：2008年01月15日） 答题时间：120分钟 考试方式： 闭卷 班级____________姓名____________序号_______成绩____________ 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 阅卷人 一、求解下列各题（每题5分共40分） 1. 2． 3．设，求 4.设曲线，求. 5．（数学系学生改做：叙述的定义） 6．（数学系学生改做：叙述存在的归结原则） 7．证明函数在上一致连续。 8．求在上的最大值与最小值。 二（12分） 设在数集上有界， （1）叙述的定义； （2）证明。 三（12分） 叙述数列收敛的柯西准则，据此再叙述数列发散的充要条件，并证明数列发散，其中。 四（12分）设在连续，在可导，证明： (1) 如果存在，则也存在，且; (2) 如果在区间上可导，则在上不存在第一类间断点。 五（12分）设函数在连续，在可导，，且，使得。证明：(1) ，使; (2) ，使. 六（12分）应用函数的凸性证明：对任意的非负实数，有。 （数学系学生改做：已知函数满足：(1)(为有限数)，且; (2) ，证明：。） 数学分析(1)试题参考答案 （适用理学院2007级，120分钟，2008年01月） 一、求解下列各题（每题5分共40分） 1. 【解】原式= ……………………………3 …………………2 2． 【解】当时，，故 ……………………….2 ………………..3 3．设，求 【解】时， …………3 时， 。 …………2 4.设曲线，求. 【解】, ………………………3 , ………………………………2 5． 【解】原式= ………………………3 …………………………2 （数学系学生做：叙述的定义） 【解】对，有 6． 【解】原式= ……………2 …………3 （数学系学生改做：叙述存在的归结原则） 【解】且，有存在且相等。 7．证明函数在上一致连续。 【解】，因为 。 …………2 因此，，取，则，只要，就有 成立，即函数在上一致连续。 …………3 8．求在上的最大值与最小值。 【解】 令得驻点，计算 ……………………………………2 ，，， 最大值，最小值 ……………………………3 二（12分）、设在数集上有界， （1）叙述的定义； （2）证明 【证】（1）叙述见教材，略！ ………………………………………6分 （2）对， ,所以 …………………3分 又，利用上式得 即 ……………………………3分 三（12分） 叙述数列收敛的柯西准则，据此再叙述数列发散的充要条件，并证明数列发散，其中。 【解】叙述见教材，略！证明如下， …………………………………8分 取，取 ，故该数列发散。 ………………4分 四（12分）设在连续，在可导，证明： (1) 如果存在，则也存在，且; (2) 如果在区间上可导，则在上不存在第一类间断点。 【证】 （其中）。当时，有，由假设条件存在，即存在。说明存在且。同理可证，如果存在，则也存在，且。 …………………6分 下证导函数不存在第一类间断点。对，如果和都存在，由上述结论和存在，知必有，这说明在点连续。 …………………6分 五（12分）设函数在连续，在可导，，且，使得。证明：(1) ，使; (2) ，使. 【证】作辅助函数， …………………3分 由及，由介值定理知： ，使， …………………3分 又，故根据罗尔定理，