高考数学专题复习讲练测专题一专题复习导引3掌握教学方法..docVIP

§3　掌握数学方法 　　一、复习要点?　人们常说：一种思想，多种方法．这不仅说明了数学方法的多样性，也说明数学方法是实现数学思想的重要途径．基本的数学方法主要有：换元法、配方法、待定系数法和反证法等． 　　1．换元法 　　换元法是实现等价转化思想的一种重要手段．换元法的本质是映射转移，它的理论根据是等量代换．换元法的操作是施行未知量或变量替换，其关键是确定替换式． 　　换元法又称辅助元素法．通过引进辅助元素，可以把分散的条件集中起来，或者把隐含的条件显现出来，或者把条件与结论联系起来，或者变换为熟悉的形式，从而达到化难为易、化繁为简、化生为熟的目的． 　　常用的换元法主要有局部代换、整体代换、二元对称代换、三角代换、复数代换等．应用换元法解题一定要注意新变量的取值范围． 　　2．配方法 　　应用配方变形来解数学题的方法称之为配方法．配方法的实质是集中变量，其理论依据是代数式的恒等变形．配方的目标是使数学表达式中出现完全平方式，因此，配方法是一种非常基本而又十分具体的数学技巧．它适用的范围主要是： 　　（1）一元二次方程（包括二次齐次方程）和一元二次不等式的解法与讨论； 　　（2）二次函数，或可化为二次函数的复合函数的单调性、对称性和最值的讨论与求解； 　　（3）证明与二次型有关的等式和不等式； 　　（4）缺交叉项ｘｙ的二次曲线ｆ（ｘ，ｙ）＝0的化简与平移变换． 　　中学数学中常见的配方形式有： 　　　ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ａ（ｘ＋ｂ／2ａ）２＋（4ａｃ－ｂ２）／4ａ； 　　　ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝（ａ＋ｂ／2）２＋（／2ｂ）２＝（ａ＋ｂ）２－ａｂ＝（ａ－ｂ）２＋3ａｂ； 　　ａ２＋ｂ２＝[（ａ＋ｂ）２＋（ａ－ｂ）２]／2； 　　ａｂ＝[（ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２]／4； 　　ａ２＋ｂ２＋ｃ２－ａｂ－ｂｃ－ｃａ＝（1／2）［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］； 　　（ｘ１－ｘ２）２＝（ｘ１＋ｘ２）２－4ｘ１ｘ２． 　　3．待定系数法 　　在某些数学问题中，如果我们事先能够判断所求问题的结果具有某种确定的数学表达形式，仅仅是这种形式中的某些系数有待确定，则可先引进适当的几个“尚待确定的系数”，把要解答的数学问题，根据给定的已知条件，列出含有尚待确定系数的方程或方程组，并解此方程或方程组，以求出这些待定系数的值，从而使问题得到解决．这种解决数学问题的方法，称之为待定系数法． 　　要判断一个数学问题能否用待定系数法求解，关键是这个问题的结果是否具有某种确定的数学表达形式，如果具有，则可使用待定系数法求解．例如，解析几何中曲线（或轨迹）的方程，如果能事先确定曲线（或轨迹）的形状，就可以根据题设的其它条件，考虑用待定系数法确定曲线（或轨迹）的位置和大小． 　　待定系数法的理论依据是多项式恒等的充要条件． 　　应用待定系数法解题的一般步骤是： 　　（1）设出所求问题含待定系数的解析表达式； 　　（2）根据多项式恒等的充要条件，列出一组含待定系数的方程（组）； 　　（3）解这个方程（组），求出待定系数的值，或者消去待定系数，从而使问题获得解决． 　　4．反证法 　　反证法是一种间接的证题方法．所谓反证法，首先是假定所要证明的结论不成立，然后经过正确推理得出矛盾的结论来．据此，推翻开始的假设，从而确定原命题成立． 　　反证法的核心是导致矛盾，因此这种方法也叫归谬法．它所针对的问题，常常是从正面不易入手，或从正面入手后，推证过程障碍颇多，而改变角度，从反面入手．其过程简明扼要，常常产生出奇制胜的效果．这种“正难则反”的思路，是解决数学问题的重要策略． 　　反证法推理中常见的矛盾形式有：（1）与已知公理矛盾；（2）与已知定理矛盾；（3）与已知定义矛盾；（4）与已知条件（或部分条件）矛盾；（5）与由已知条件推出的某正确结论矛盾；（6）与反设自身矛盾；（7）由反设导出两个矛盾的结果等． 　　反证法的适用范围是：（1）已知条件很少的命题；（2）结论的反面比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形式的命题；（3）涉及各种无限结论的命题；（4）存在性命题；（5）惟一性命题；（6）至少（多）型命题等． 　　二、例题讲解 　　例1　已知ｘ≥1，ｙ≥1，且ｌｏｇ２ａｘ＋ｌｏｇ２ａｙ＝ｌｏｇａ（ａｘ２）＋ｌｏｇａ（ａｙ２），其中ａ＞1．求ｌｏｇａ（ｘｙ）的最大值和最小值． 　　讲解：已知等式可化为 　　ｌｏｇ２ａｘ＋ｌｏｇ２ａy－2logａx－2ｌｏｇａｙ－2＝0， 　　即（ｌｏｇａｘ－1）２＋（ｌｏｇａｙ－1）２＝4． 　　令Ｘ＝ｌｏｇａｘ，Ｙ＝ｌｏｇａｙ，则 　　（Ｘ－1）２＋（Ｙ－1）２＝4．　　① 　　∵　ｘ≥1，ｙ≥1，ａ＞1， 　　∴　Ｘ≥0，Ｙ≥0．