高考数学专题复习讲练测专题二函数与方程专题复习讲练2函数的图象和性质..docVIP

§2函数的图象和性质 　　一、复习要点　在系统复习阶段，我们分别研究了函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值）和图象（画图、识图、用图），本轮复习的重点是函数图象和性质综合问题的解法.　　在函数的诸多性质中，单调性和最值是复习的重点，也是高考命题的频考点.函数的图象可以全面地反映函数的性质，而熟练掌握函数的性质有助于准确地画出函数的图象，从而自觉地养成应用数形结合的思想方法解题的习惯.　　二、例题讲解　　例1　设f（x）=（ax２＋1）／（bx+c）（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．　　（1）求函数f（x）的解析式；　　（2）证明f（x）在（0，1）上是减函数；　　（3）作出函数y=f（x）的图象．　　讲解：（1）为了求a、b、c的值，可从逐步“翻译”题设条件入手．　　∵f（x）是奇函数，∴f（-x）≡-f（x），　　即（ax２＋1）／（－bx+c）≡-（ax２＋1）／（bx+c）　　 -bx+c≡-bx-cc=-cc=0．　　由f（1）=2，得（a+1）／b=22b=a+1.　　　　　　①　　又f（2）＜3（4a+1）／（2b）＜3．　　　　　　②将①代入②，得　　（4a+1）／（a+1）＜3（a-2）／（a+1）＜0－1＜a＜2.　　∵a∈Z，∴a=0或a=1.　　当a=0时，由①得b=1／2Z，舍去；　　当a=1时，b=1．　故f（x）=（x２＋1）／x.　　（2）利用单调函数的定义证明，略．　　（3）先确定函数的性质，再作图．　易知，函数f（x）=x+（1／x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且是奇函数．又|f（x）|=|x+（1／x）|（1／x）≥2，　　∴函数f（x）的值域是　　 {y|y≤-2或y≥2}.　　由（2）知，f（x）在（0，1）上是减函数．同理可证，f（x）在［1，＋∞）上是增函数，再结合奇偶性，作出函数y=f（x）的图象如图2－2所示． 图2－2 　　例2　设f（x）是定义在区间［－1，1］上的偶函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈［2，3］时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）３（a为实常数）．　（1）求函数f（x）的表达式；　　（2）是否存在a∈（2，6］或a∈（6，＋∞），使f（x）图象的最高点在直线y=12上？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．　　讲解：（1）由于函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=1对称，且函数g（x）的解析式为已知，所以可将函数f（x）用g（x）来表示，再根据f（x）为偶函数来确定其解析式．　　设（x，f（x））是f（x）图象上任意一点，则点（x，f（x））关于直线x=1的对称点（2-x，f（x））在g（x）的图象上．　　∴f（x）=g（2-x）.　　当x∈［－1，0］时，2-x∈［2，3］，则f（x）=g（2-x）=-2ax+4x３．　　又f（x）为偶函数，　　∴当x∈［0，1］时，f（x）=f（-x）=2ax-4x３．　　综上，得 f（x）= -2ax+4x３　（x∈［－1，0］）， 2ax-4x３（x∈［0，1］）． 　　（2）∵f（x）是偶函数，∴只需求f（x）在［0，1］上的最大值即可．　　当a∈（2，6］时，由0≤x≤1知，a-2x２＞0. ∴f（x）=2x（a-2x２）＝＝ 　　（2a）／9.　　当且仅当4x２=a-2x２，即x=∈［0，1］时，等号成立．　　∴f（x）的最大值为（2a）／9.　　令（2a）／9=12，得a３＝486＞6３，即a＞6．　　可见a（2，6］，此时a不存在．　　当a∈（6，＋∞）时，设0≤x１＜x２≤1，则　　f（x１）-f（x２）=…=（x１-x２）［2a-4（x１２＋x１x２+x２２）］．　　∵0＜x１２+x１x２+x２２＜3，a＞6，　　∴2a-4（x１２＋x１x２+x２２）＞0．　　又x１＜x２，∴f（x１）-f（x２）＜0．　　即f（x）在［0，1］上是增函数，从而f（x）的最大值为f（1）=2a-4.　　令2a-4=12，得a=8∈（6，＋∞），符合题意．例3在Ｒ上的递减函数ｆ（ｘ）满足：当且仅当ｘ∈ＭＲ＋时，函数值ｆ（ｘ）的集合为［0，2］，且ｆ（1／2）＝1；又对M中的任意ｘ１，ｘ２都有ｆ（ｘ１ｘ２）＝ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）．（1）求证：（1／4）∈Ｍ，而（1／8）∈Ｍ；（2）证明：ｆ（ｘ）在M上的反函数ｆ－1（ｘ）满足关系ｆ－1（ｘ１）·ｆ－1（ｘ２）＝ｆ－1（ｘ１＋ｘ２）；（3）解不等式ｆ－1（ｘ２＋ｘ）·ｆ－1（ｘ＋2）≤（1／4）（0≤ｘ≤2）．讲解：紧扣题意中的信息，