高等代数(北大版第三版)习题答案I..doc

高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩阵 第五章 二次型 第六章 线性空间 第七章 线性变换 第八章 —矩阵 第九章 欧氏空间 第十章 双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第一部分，其他请有哪些信誉好的足球投注网站，谢谢！ 第一章 多项式 用除，求商与余式： 1）； 2）。 解 1）由带余除法，可得； 2）同理可得。 2．适合什么条件时，有 1）， 2）。 解 1）由假设，所得余式为0，即， 所以当时有。 2）类似可得，于是当时，代入（2）可得；而当时，代入（2）可得。 综上所诉，当 或时，皆有。 3．求除的商与余式： 1）； 2）。 解 1）； 2）。 4．把表示成的方幂和，即表成 的形式： 1）； 2）； 3）。 解 1）由综合除法，可得； 2）由综合除法，可得； 由综合除法，可得 。 5．求与的最大公因式： 1）； 2）； 3）。 解 1）； 2）； 3）。 6．求使。 1）； 2）； 3）。 解 1）因为 再由， 解得， 于是。 2）仿上面方法，可得，且。 3）由可得。 ７．设与的最大公因式是一个二次多项式，求的值。 解 因为， ， 且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式为0，即 ， 从而可解得 或 。 ８．证明：如果，且为与的组合，那么是与的一个最大公因式。 证 易见是与的公因式。另设是与的任一公因式，下证。 由于是与的一个组合，这就是说存在多项式与，使 ， 从而由可得，得证。 ９．证明：，的首系数为１）。 证 因为存在多项式使， 所以， 上式说明是与的一个组合。 另一方面，由知， 同理可得， 从而是与的一个最大公因式，又因为的首项系数为１，所以。 １０．如果不全为零，证明： 。 证 存在使， 又因为不全为０，所以， 由消去律可得， 所以。 11．证明：如果不全为零，且，那么。 证 由上题证明类似可得结论。 12．证明：如果，那么。 证 由假设，存在及使 （1） （2） 将（1）（2）两式相乘，得 ， 所以。 13．设都是多项式，而且 。 求证：。 证 由于 ， 反复应用第12题结论，可得 ， 同理可证 ， 从而可得 。 14．证明：如果，那么。 证 由题设知，所以存在使， 从而， 即， 所以。 同理。 再由12题结论，即证。 15．求下列多项式的公共根 解 由辗转相除法，可求得，所以它们的公共根为。 16．判别下列多项式有无重因式： 1） ； 2） ； 解 1）， 所以有的三重因式。 2），，所以无重因式。 17．求值，使有重根。 解 易知有三重根时，。若令 ，比较两端系数，得 由（1），（3）得，解得的三个根为，将的三个根分别代入（1），得。再将它们代入（2），得的三个根。 当时有3重根；当时，有2重根。 18．求多项式有重根的条件。 解 令，则，显然当时，只有当才有三重根。 下设，且为的重根，那么也为与的根，即 由（1）可得，再由（2）有。所以 ， 两边平方得，所以。 综上所叙即知，当时，多项式有重根。 19．如果 ，求。 解 令，。由题设知，1是的根，也是的根，此即 ， 解得。 20．证明：不能有重根。 证 因为的导函数，所以，于是，从而无重根。 21．如果是的一个k重根，证明是 的一个k+3重根。 证 因为 ， 由于是的重根，故是的重根。代入验算知是的根。 现在设是的重根，则是的重根，也是的s-2重根。 所以。得证。 22．证明：是的重根的充分必要条件是 ，而 证 必要性：设是的重根,从而是的重根，是的重根，，是的一重根，并且不是的根。于是 而。 充分性：由，而，知是的一重根。又由于，知是的二重根，依此类推，可知是的重根。 23．举例说明段语“ 是的 重根，那么是的重根”是不对的。 解 例如，设，那么以0为重根，但0不是的根。 24．证明：如果，那么。 证 要证明，就是要证明（这是因为我们可以把看作为一个变量）。由题设由，所以，也就是，得证。 25．证明：如果，那么。 证 因为的两个根为和，其中，所以和也是的根，且，于是 ， 解之得。得证。 26．求多项式在复数范围内和在实数范围内的因式分解。 解 在复数范围内，其中， 在实数域内，所以，当为奇数时，有 其中，皆为实数。 当是偶数时，有 27．求下列多项式的有理根： 1） ； 2） ； 3） 。 解 利用剩余除法试根，可得 有一个有理根2。 有两个有理根（即有2重有理根）。 有五个有理根（即一个单有理根3和一个4重有理根）。 28．下列多项式在有理数域上是否可约？