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Ch4_Sec_1非线性方程的迭代解法讲解
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2）若|f (xk+1)| ≥| f (xk) | ，则当?≤??且|f(xk+1)| ε2 ，取x*? xk，计算过程结束； 否则若?≤??，而|f(xk+1)| ≥ε2时，则把xk+1加上一个适当选定的小正数，即取xk+1+?作为新的xk值，并转向(3)重复计算； 当?＞??；且|f(xk+1)| ≥ε2 ，则将下山因子缩小一半，取?/2代入，并转向（3）重复计算。 下山因子下界 开 始 输入x0, |x - x0|ε1 输出x 结 束 否 是 x0=x λ=λ/2 |f(x)||f(x0)| 是 否 是 否 否 是 例：求方程f (x) = x3 – x – 1 = 0 的根 牛顿法的计算结果 ： k xk f(xk) 0 0.6 -1.384 1 17.9 5716.439 2 11 1692.173533 3 7.985520353 500.2394162 4 5.356909316 147.3675179 5 3.624996034 43 6 2.505589191 12 …… 12 1.324717957 -1.08×10-9 例：求方程f (x) = x3 – x – 1 = 0 的根 牛顿下山法的计算结果 ： k ? xk 0 1 0.6 1 1/25 1.14063 2 1 1.36681 3 1 1.32628 4 1 1.32472 |f(x1)||f(x0)| 下山成功 4.1.6 求方程m重根的Newton迭代法 Newton迭代法降为一阶！ 改进办法一 为二阶收敛 改进办法二 此方法不管根的阶数，收敛精度至少二阶！ 例：求方程f (x) = x4-1.4x3-0.48x2+1.408x-0.512=0的根 已知有一个三重根s=0.8. 改进办法的计算结果 ： k xk 0 1 1 0.794 019 933 2 0.799 962 734 3 0.800 019 389 牛顿法的计算结果 ： k xk 0 1 1 0.935 483 871 …… 10 0.803 649 381 例：求方程f (x) = (x-1)3的根. 牛顿法的计算结果 ： k xk 0 0.8 1 0.6667 2 0.7778 3 0.8519 …… 10 0.9942 4.1.7 割线法(弦截法) 牛顿法 收敛速度快 计算f’(xk)(可能复杂), 且其绝对值可能很小 双点弦截法 ： 切线斜率 ? 割线斜率 需要2个初值 x0 和 x1. x0 x1 x2 双点弦截法具有局部收敛性且收敛速度的阶至少是1.618 例 求方程x3-x-1=0在x=1
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