刘老师多元积分11题解析..docVIP

例1 求是由曲面 所围成的区域 解答及评述： 1）找区域（不等式） ： 如何得到上面的不等式的 注意两个事就可以了：一 区域是不等式；二 要有界的 如果你写些其他形式的不等式，要不是矛盾的，要不无界。你可以试一下 2）处理区域（本问题本来区域很简单，因为函数有点复杂，故要处理）（找个恰当的方式（坐标系）表示，找界（由有界，找不等式）） ：， 3）微元：（那个1是换元后的那个行列式） 4）求简单的三重积分 本题是由于函数复杂引起的换元法。这类问题是少见的，一般问题是由于区域复杂引起的换元法。 例2 求是由曲面所围 解答与评述 1）找区域（把原来曲面里的等式变成不等式，联立（有两个，需要同时满足）） 为什么不是另外一种形式？，因为这个无界 2）处理区域 ， 如何得到的？把新表示代入上述不等式解其得到的（注意要考虑完全） 3）求微元 4）求简单的三重积分 = 例3设?是由曲面与曲面围成的区域，求 解答与评述 1)找区域 这三个不等式里，最后一个是已知的。前两个如何得到的呢? 反正最多有四种可能的形式，但其他的三种都无界或矛盾。 2）处理区域 由上述不等式的形式，以下两种处理都不错，将来算起积分来也差不多 ， 或 ， 3）求微元 或 4）求简单的三重积分 第二步里选择哪种处理，或许对这步有点影响，但问题不大。 = 其中前两个积分是零（原因是它们换成大倍角的时候，无常数,在一个周期里积分为零），或许这就是所谓的对称性。 这个问题里，如果把这个条件去掉，问题就不是个恰当的问题，因为那个所围的区域不确定。 例4 求其中常数a，b＞0，是由点沿曲线到点的弧． 解：曲线： 这四个积分里，第二个和第四个很容易算 下面处理第一个和第三个 第一个== = = 和第三相加正好为零。 例5 求，其中： 上从到 解答与评述 这个函数或许有些复杂，其实要真复杂，那这问题可不可以搞定还不一定呢，说明这个复杂里必有简单。 不管曲线啥形状，我先处理一下函数的形式（当然曲线将来也会变形式的） 令，变量由变成 要积分的微分形式变为 = = 曲线变为： ， 以下做法都知道了。 只要用Green公式可以化简被积函数的，通过分部积分必可以达到这个目的，因为Green公式求曲线积分的实质就是分部积分（涉及原函数） 例6 求，其中为平面曲线 解答与评述 问题很经典，大意是需要个所谓的对称性，答案是20个此椭圆的周长。因为前三个积分为零。 怎么得到的三个零？ 一个函数太对称，必然非常简单，就这么得到的（看到形式感觉到的）。我用的是定积分的那两个对称性，多元的记不住(情况太复杂) 1）找及处理曲线 ， 2）求微元 切向量= ，= 3）求定积分 第一个积分 =0 原因是这个被积函数：是个偶周期函数，有两个对称。这是定积分里的一个简单的习题，或者求一下也可以（需要分段的（因为要找单调区间），用换元） 第二，三个类似。 例7 求，其中为，方向：从 轴正向看逆时针方向 解答与评述 这个问题的困难在处理曲线及其中的定向 找曲线： （因为） 处理曲线： ， 前面写出形式来不难，后面的范围也容易（因为没有其他的约束，所以要一个周期的） 那个定向的事情麻烦一点，首先，题目里所谓的比如上下，从某轴看什么时针，实际上是假定我们用的是我们经常使用的那种坐标系，比如上下，那就是那个轴是垂直于我们的嘴的，一般还是右手系。 我们可以取些具体的值（对曲线取三个以上）来确定，这个过程不好描述。 计算定积分是容易的，是三角有理函数的积分问题 例8 求被所截下部分的面积． 解答与评述 先把粗答案写上： 1）找曲面 说的曲面是第一个，故第一个是等式；但非其全部(要是全部其面积是无穷)，是被第二个约束的一部分（为什么是上面的那种不等式，因为另外那种不是有界的） 2）处理曲面 ， ；+ 3）求微元 法向量= = 4）求简单的二重积分 在区域上对函数求二重积分 例9 求曲面与所围立体的表面积 解答与评述 1）找曲面： 两块曲面: 第一块是第一个曲面被第二个所截的部分： （为什么是这个不等式，而不是反向的，若反向的则无界，你验证一下） 第二块是第二个曲面被第一个所截的部分： 2）处理曲面： 第一块： 第二块： ： 3）求微元 第一块 法向量= = 第二块 法向量= 4）求两个二重积分并把结果求和 例10 求，其中是平面内的曲线绕轴旋转一周所成的曲面，方向：法线与轴正向的角是锐角 （不可以叫内外，因为不闭合） 解答及评述 1）找曲面 2）处理曲面 ， 3）找函数（向量） 4）求微元且定向 = = 现在求的这个方向恰好，若不是加负号（那个角度是锐角还是钝角只要看分量符号的正负，本问题是看第一个分量） 5）求二重积分 原曲