函数的图像及数字特征..docVIP

第5讲 函数图像及数字特征 一．【基础知识】 画法 性质 变换(平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换) 二．【能力提升】 识图 作图：从图像的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图像与性质一些综合性问题； 思想方法：数与形结合等重要的数学思想、能力。 三．【要点精讲】 1．函数图像 （1）作图方法：以解析式表示的函数作图像的方法有两种，即列表描点法和图像变换法，掌握这两种方法是本的重点运用描点法作图像应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图像的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图像变换法作函数图像要确定以哪一种函数的图像为基础进行变换，以及确定怎样的变换这也是个难点；的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x?h)； Ⅱ、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到； 1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)?h。 ②对称变换： Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y=f(?x) Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y= ?f(x) Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) y= ?f(?x) Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。 y=f(x) x=f(y) Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；y=f(x) y=f(2a?x)。 ③翻折变换： Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到； Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到 ④伸缩变换： Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到； y=f(x)y=af(x) Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。 f(x)y=f(x)y=f() （3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面 2．幂函数 在第一象限的图像，可分为如图中的三类： 图 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数中限于在集合中取值 幂函数有如下性质： ⑴它的图像都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交； ⑵定义域为R或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的幂函数都不具有奇偶性； ⑶幂函数都是无界函数；在第一象限中，当时为减函数，当时为增函数； ⑷任意两个幂函数的图像至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点； 四．【典例解析】 题型1：作图 例1．（08江苏理14） 设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 ▲ 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为， 设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4； 当x＜0 即时，≥0可化为， 在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4 【答案】4 点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图像个关系； 例2．（广东卷）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是A. 在时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面 C在时刻，两车的位置相同 D时刻后，乙车在甲车前面比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在时刻，车在乙车前面的图像大致为 ( ). 答案 A 解析 函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 【命题立意】:本题考查了函数的图像以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 例3．已知函数满足，且当时，，则与的图像的交点个数为 （ ） A、2 B、3 C、4 D、5 解析：由