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第四节：直线与椭圆的位置关系及弦长公式1．（**）已知直线与椭圆相交于、两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段的长是(　　)A.B.C.D.【答案】B【解析】,,,，则..选B2．（**）直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长等于(　　)A.4B.C.D.【答案】B【解析】直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A、C；将直线y＝kx＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.选B.3．（**）斜率为1的直线l与椭圆+y2=1交于不同两点A,B,则|AB|的最大值为(　　)(A)2 (B)(C) (D)【答案】C【解析】设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y,得x2+2tx+t2-1=0,由题意得Δ=(2t)2-5(t2-1)0,即t25,弦长|AB|=·≤.4．（**）已知点A（0，1）是椭圆上的一点，P点是椭圆上的动点，则弦AP长度的最大值为（ ）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】试题分析：设x=2cosα，y=sinα，则弦AP=.5．（**）已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为(　　)(A)3 (B)2 (C)2 (D)4【答案】C【解析】设椭圆方程为+=1(ab0).由得(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0,可得a2=7,∴2a=2.6．（***）已知任意k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是(　　)(A)(0,1) (B)(0,5)(C)[1,5)∪(5,+∞) (D)[1,5)【答案】C【解析】直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆+=1上或其内部即可.从而m≥1,又因为椭圆+=1中m≠5,所以m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞).7．（***）过椭圆(ab0)左焦点F斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量与向量a=(3，-l)共线，则该椭圆的离心率为（）A．B． C．D．【答案】【解析】设椭圆的左焦点为，，则，直线的方程为，代人椭圆方程并整理得：.由韦达定理得，，所以，，根据与共线得，，即，，故选.8、（***）14．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）A． B．C． D．【答案】D【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．9．（****）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为 ，若直线AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：【方法一】由于内层椭圆和外层椭圆的离心率相等，不妨设外层椭圆的方程为，设切线的方程为，则，消去得，由，化简得，同理可得，，因此，所以，因此，故椭圆的离心率为.故选C.【方法二】椭圆在其上一点处的切点方程为，设，，由于内外两个椭圆的离心率相同，则可设外层椭圆的方程为，则，内层椭圆在点C处的切线方程为，而AC的方程为，其斜率为，同理直线BD的方程为，其斜率为，∴ ①，直线AC过点，则有，直线BD过点，则有，∴，∴，∴，设，，不妨设点C为第一象限内的点，则点D为第二象限内的点，则为锐角，为钝角，则，∴，则为锐角，∴，∴，∴，由①式得，，∴，∴，∴，∴，故选C.我在QQ群151270640，为大家免费解答讨论高中数学疑难题，希望我们共同进步。要好题5