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第四章 数据拟合法 一、内容分析与教学建议 本章内容是对样条函数及其理论的简单介绍，主要介绍了三次样条和B样条。样条插值是分段多项式插值的深化和完善，是插值方法中最重要和最常用的方法。 最小二乘法 1、数值逼近的另一种重要方法——数据拟合方法，它有别于插值法的主要特点是：不要求拟合曲线过插值点。而最小二乘法是最重要的数据拟合方法之一。 2、阐明最小二乘法的最小二乘原理，由最小二乘原理得到超定方程组（又称矛盾方程组），解得超定方程组的解，即得所求拟合曲线的方程。 3、使用最小二乘法，关键是根据已知数据点的大致走势，选好基函数，构造拟合函数。 4、建议用多媒体演示，给出大量的数据，根据所给数据的特点，选择不同的基函数，构造不同的拟合函数，用计算机现场演算，并画出拟合函数曲线及所给数据点，使学生直观地了解最小二乘法的精髓。 正交多项式 1、阐明正交多项式的一般定义。 2、介绍几个常用的正交多项式：Legendre多项式、Tchebyshev多项式、Laguerre多项式、Hermite多项式，了解它们的表达式以及下列信息： Legendre多项式在上关于权正交； Tchebyshev多项式在上关于权正交； Laguerre多项式在上关于权正交； Hermite多项式在上关于权正交。 最佳平方逼近 1、了解最佳平方逼近及最佳平方逼近多项式的概念。 2、通过具体例子讲解如何求函数的最佳平方逼近多项式。 最佳一致逼近 1、简介Bernstein多项式的概念和性质，以及通过构造Bernstein多项式，人们非常简洁地证明了Weierstrass定理，并由此引如一致逼近的概念。 2、阐述最佳一致逼近及最佳一致逼近多项式的概念，重点介绍描述最佳一致逼近多项式特征的Tchebyshev定理，并举例说明。 3、讲解最小零偏差问题，通过具体例子介绍Tchebyshev多项式的应用——降低逼近多项式的次数。 4、这一节的内容理论性比较强，应多结合例子进行讲解。 （五） B样条曲线 B样条曲线是外型设计中最常用的造型曲线，它是计算几何的重要内容。可向学生简单介绍B样条曲线的基本概念和生成过程，最好用多媒体动画演示，使学生能直观地了解B样条曲线在外型设计中的运用。这一部分可视课时情况，安排介绍内容的深度和广度。 本章结束时，建议安排一次上机实习，加深和巩固学生对数据拟合方法，尤其是最小二乘法的了解和掌握。 二、补充例题 例1 利用正交化方法求上带权的前三项正交多项式， . 分析：本题主要是为了进一步熟悉正交多项式的构造方法。这里要求带权正交，可利用首项系数为1的正交多项式的关系式来求： 其中；. 解 ，利用公式 以及内积定义，得 所以 ； 再由 得 故 . 例2 求超定方程组（或矛盾方程组）的解. 分析：求解超定方程组，一般用最小二乘法。由教材知：直接用正规方程组求解。 解 由题设知 ， 故正规方程组的系数矩阵和右端项分别为. 解正规方程组 得. 例3 求形如为常数，且的经验公式，使它能和下表数据相拟合： 分析：经验公式不是多项式，应设法将其变为多项式。本题可通过取对数的方 法将变为，若令，则有. 求出 后在变回即可。 解 对经验公式两边取自然对数，得. 令，则有. 取. 为了求出，需将数据转化为，即 根据最小二乘法，需求出正规方程组，经计算有 故由解得. 于是最小二乘拟合曲线为. 例4 选取常数，使达到最小。又问这个解是否惟一？ 分析：本题可以这样理解：即把常数0看作是函数在上的最佳一致逼近多项式，然后按照零为的最佳一致逼近多项式的充要条件去确定常数. 解法一 要使达到最小，只要使0为函数在上的最佳一致逼近多项式。由于0为函数在上的最佳一致逼近多项式的充要条件是：0在上有2个轮流为正、负的偏差点。若设，则与0的偏差点使达到最大，且这些偏差点一定是使取最大或最小或取极值的点，因此需考察这些点。 由得：当时，在点处取极小值，且极小值为；在区间端点有. 显然，不能使达到最大。故令，即，整理得 ，分解得 ，所以或. 当时，；当时，. 由，解得. 另一方面，又有，从而产生矛盾。 所以使达到最小时，有惟一解. 解法二 设，因为在上是奇函数，所以，根据最小；零偏差多项式定理，有 ， 故得. 从而达到最小时，有惟一解. 例5 设为的Bernstein多项式，试证：当时，恒有 . 分析：本题结论实际上是：的Bernstein多项式不会产生新的最大值和最小值。利用的Bernstein多项式及常数函数的Bernstein多项式可以证明题中的结论。 证 因为，及 ， 所以 ， 即 . 又因为，故 . 例6 设，分别为在上的最