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第十一章 概率与统计 两个计数原理 1．分类计数原理： 。 分步计数原理： 。 2．王云同学有参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读，若他从这些参考书中带一本去图书馆，有 种不同的方法；若带外语，数学，物理各一本，有 种不同的带法；若从这些参书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有种不同的带法。 3．设，且，则点共有 个.、 4．设，从集合到集合共可建立不同的函数个数为 . 5．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数字号码。 6．展开后共有 项. 例1．（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军（无并列），有多少种不同的结果？ （3）某人要将4封不同的信投入3个不同信箱中，不同的投寄方法有多少种？ （4）将3个不贩小球放入4个不同编号的盒子中（一个盒子只放一个小球），不同的放法有多少种？ 例2．在一次综艺节目的演出中，热心观众坐成四个方阵（如下图），现有4种不同颜色的T恤衫，要求相邻方阵着不同颜色的T恤，有多少种不同的着衣方法？ 例3．（1）用数字0，1，2，3，4可组成多少个不同的三位数？ （2）甲、乙、丙3人互相传1只篮球，开始球在甲手中，经过5次传球后，球在甲手中，问共有多少种不同的传球方式？ 例4．（备选题）设整数是平面直角坐标系中的点，其中，. （1）记为满足的点的个数，求； （2）记为满足是整数的点的个数，求. 排列、组合的概念和运算 1．排列的定义： ，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 2．排列数的定义： ，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号 表示. 3．排列数公式：= = ； = = ；0!= 4．组合的定义： ，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 5．组合数的定义： ，叫做从个不同元素中取出个元素的给合数，用符号 表示. 6．组合数公式：= = = ； = 7．组合数的两个性质：（1） （2） 例1．（1）若，则= ，= . （2）若，则用排列数符号表示为 （3）若，则= （4）若，则= 例2．（1）若，求的所有可能值. （2）求的值. 例3．（1）化学： （2）化简： （3）化简： 例4．（备选题）已知是给定的某个正整数，数列满足：，其中. （1）设求； （2）求. 二项式定理及通项公式的应用 1．二项式定理：对于，= ，二项式展开式的通项公式为 ，二项式展开式中第项的二项式系数为 ，要分清展开式中第一项的系数与该项的二项式系数. 2．的展开式的第3项是 ；的展开式的第3项是 . 3．的展开式的第项为 . 4．展开式的第4项的二项式系数是 ，第4项的系数是 . 5．，式子= . 例1．求的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）含的项及系数；（3）常数项、有理项. 例2．（1）已知的展开式中的系数为，求常数的值 （2）求的展开式中项 （3）求展开式中的系数 例3．（1）求的近似值（精确到