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第二节 柯西中值定理和不定式极限 一 柯西中值定理 现给出一个形式更一般的微分中值定理 定理6.5（柯西中值定理） 设函数f和g满足； (i)在［a,b］上都连续； (ii)在(a,b)内都可导； (iii)和不同时为零; (iv)g(a)≠g(b), 则存在ξ∈(a,b)，使得 证 做辅助函数 易见F在［a,b］上满足罗尔定理条件，故存在ξ∈(a,b)，使得 因为（否则由上式？也为零），所以可把上式改写成⑴式。 柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义。只是现在要把？这两个函数写作以x为参量的参数方程 在uOv平面上表示一段曲线（图6—5）表示连接该曲线两端的弦AB的斜率，而⑴式左边的则表示该曲线上与x=ξ相对应的一点C(g(ξ),f(ξ))处的切线斜率。因此⑴式即表示上述切线与弦AB互相平行。 设函数f在［a,b］（a＞0） 证 设g(x)=lnx,显然它在［a,b］上与f(x)一起满足柯西中值定理条件，于是存在ξ∈(a,b)，使得= 上式整理后便得到所要证明的⑵式。 二 不定式极限 我们在第三章学习无穷小（大）量阶的比较时，已经遇到过两个无穷小（大）量之比的极限。由于这种极限可能存在，也可能不存在，因此我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限，分别记为型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达（L’Hospital）型不定式极限 定理6.6 若函数f和g满足： （ⅰ） f(x)= g(x)=0； （ⅱ）在点x的某空心邻域U(x)内两者都可导，且g＇（ｘ） （ⅲ）=A(A可为实数，也可为惑),则 ==A. 证 补充义f(x)=g(x)=0，使得 注意若将定理中6.6中x换成也可得到同样的结论。 例二 求 解 容易检验 故由洛必答法则求得 如果 例三 求 例四 求 解 这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解。但若作适当变换，在计算上可方便些。为此，令时有，于是有= 2. 型不定式极限 （ⅰ） （ⅱ）在内两者都可导，且 （ⅲ） 例五 求 解 由定理6.7，有 注1 若不存在，并不能说明不存在（试想，这是为什么？） 注2 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解。首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件。 下面这个简单的极限，就会因右式的极限不存在得错误结论。 3其他类型不定式极限 不定式极限还有或型得极限 例六 求 解 这是一个型不定式极限。用恒等变形将它转化为型的不定式极限，并应用洛必达法则得到 例求 解 这是一个型不定式极限，按上例变形的方法，先求型极限： 然后得到 当k=0时上面所得的结果显然成立。 例 求 解 这是一个型不定式极限。类似的先求其对数的极限型： ， 是有=e 例求 解这是一个型不定式极限，通分后化为型的极限，即 习题 1试问函数在区间上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？ 2设函数在上可导，证明存在 3设函数在a点处具有连续的二阶导数，证 4设0证明存在使得 5求下列不定式极限 6设函数在a点的某个邻域内具有二阶导数，证明；对充分小的h存在使得 7求下列不定式极限 8设在原点的某个邻域内连续，且证明