重積分及其自测题.docVIP

重积分 基本要求 了解二重、三重积分的概念和性质 掌握二重积分在直角坐标和极坐标下的计算 掌握三重积分在直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的计算 会用重积分计算曲面面积、立体面积、以及物体质量、质心等几何量和物理量. 主要内容 详细内容： 重积分定义：设是有界闭域上的有界函数，将任意分成个小闭区域，其中也表示第个小闭区域的面积，在每个上任取一点 作和，如果当各小区域的直径的最大值时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数在上的二重积分，记作，即 性质 ⅰ) ⅱ) ⅲ) (为的面积) ⅳ)如果在上，，则有 ⅴ)设分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则有 ⅵ)(中值定理)设在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点,使得 直角坐标下计算二重积分 ⅰ)积分区域 则 ⅱ) 积分区域 则 极坐标下计算二重积分 设积分区域： 则 二重积分的几何意义：等于以为底，为顶的曲顶拄体的体积，(这里) 物理意义：表示位于平面区域，面密度为的薄片的质量. 三重积分定义：设是有界闭域上的有界函数，将任意分成个小闭区域，其中也表示第个小闭区域的体积，在每个上任取一点 作和，如果当各小区域的直径的最大值时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数在上的三重积分，记作，即 7. 直角坐标下计算三重积分 ⅰ)积分区域 则 ⅱ) 积分区域 则 8.柱面坐标下计算二重积分 设： 则 9. 球面坐标下计算三重积分 设： 则 ＝ 10. 三重积分的物理意义：表示位于空间区域，体密度为的空间形体的质量. 11.对称区域上的奇偶函数积分 ⅰ)若为区域上的连续函数，关于轴对称，且为位于 轴右侧的子区域，则 ⅱ) 若为区域上的连续函数，关于坐标面对称，为位于坐标面上侧的部分，则 12.几何应用、物理应用 曲面面积： 平面薄片的质心坐标：， 空间物体的质心坐标： ， 其中 重点与难点： 选择适当的坐标计算重积分. 根据被积函数及积分区域特点，选择适当的积分次序. 二次积分的积分次序变换. 利用对称区域上函数的奇偶性简化计算. 例题 设在上连续，证明不等式 等号仅当为常数时成立. 分析：利用“非负被积函数的二重积分非负”的性质来证明. 在证明等号成立的条件时，用到了“非负连续函数的定积分为零，则此函数恒为零”的性质. 证明：因为 故有 当为常数时，显然上述等号成立. 反之，设上述等号成立，则 由于函数是上非负连续函数， 故，. 特别即，又由于函数是上非负连续函数， 故，.因此， 即为常数. 在下列二次积分中改变积分次序 1) 分析：积分域：，也表示为两个区域的并， 其中： ： 解： 2) 分析：注意到当，，尽管这个二次积分并不是在由及所围区域上的二重积分，但是改变积分次序使之与原二次积分相等仍为可能. 解：＝ 计算下列二重积分 ，其中是和 为边的平行四边形区域. 分析：当从变到，对每一固定的，从变到故化为先对后对的二重积分较简单. 解：： ，其中是由轴和摆线的第一拱 所围的区域 分析：区域：， 其中为摆线的直角坐标方程，显然当时， 解： 3)，其中：， 分析：将区域分成两块，使被积函数 再利用二重积分的关于积分域的可加性，分块计算 解：曲线将区域分成 ：， ：， 4),其中: 分析：当二重积分的积分域为圆域或扇形域，可考虑用极坐标 解： 4.计算二重积分 分析：由于被积函数的原函数不易求出，可考虑改变积分次序后再计算. 解：设区域： 5.设一平面薄片位于双曲线及直线所围平面区域，且上任一点处的面密度为，求此薄片的质量. 分析：平面薄片的质量等于密度函数再区域上的二重积分，再利用区域对称化简计算. 解：薄片的质量 6.求曲面夹在两曲面之间的那部分曲面的面积. 分析：将所求的曲面投影到面计算最简单，投影域为曲线 所围部分. 解：投影域：： 由，知 7.化二次积分为极坐标形式的二次积分. 分析：一般极坐标形式的二次积分为先对后对的二次积分，当然也可化为先对后对的二次积分. 解：区域可表