《考点24二次函数的图象和性质.docVIP

23．(本题9分)已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0），B（3，0）且过点C（0，－3） （1）求抛物线的解析式和顶点坐标 （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=－x上，并写出平移后抛物线的解析式． 23．【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）利用交点式得出y=a（x－1）（x－3），进而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标； （2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=－x2． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x－1）（x－3）， 把C（0，－3）代入得3a=－3，解得a=－1， 故抛物线解析式为y=－（x－1）（x－3），即y=－x2＋4x－3， ∵y=－x2＋4x－3=－（x－2）2＋1， ∴顶点坐标（2，1）； （2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=－x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=－x上． 【点评】根据平移性质得出平移后解析式． 10．如图，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（ ） A．abc0 B．2a＋b0 C．a－b＋c0 D．4ac－b2＜0 10．【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．抛物线的对称轴x=－=1＞0，则b＜0．抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0，所以abc＞0．故选项A错误； ∵x=－=1，∴b=－2a，∴2a＋b=0．故选项B错误； ∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（－1，0），∴当x=－1时，y=0，即a－b＋c=0．故选项C错误； 根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2－4ac＞0，则4ac－b2＜0．故选项D正确． 【解答】D 【点评】二次函数y=ax2＋bx＋c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 3．二次函数y=2（x－1）2＋3的图象的顶点坐标是（ ） A．（1，3） B．（，3） C．（1，） D．（，） 3．【考点】二次函数的性质． 【分析】∵y=2（x－1）2＋3，∴顶点坐标是（1，3）． 【解答】A 13．二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．b2－4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．－＜0 13．【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2－4ac＞0；B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴－＞0． 【解答】D 【点评】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 20．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是 ． 20．【考点】二次函数的性质． 【分析】由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x，联立消掉y得x2－2x＋2k=0，△=（－2）2－4×1×2k=0，即k=时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（，），∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，×4＋k=0，解得k=－2，∴要使抛物线y=x2＋k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是－2＜k＜． 【解答】－2＜k＜ 【点评】联立两函数解析式确定交点个数，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值． 12．如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（－1，0）．则下面的四个结论：①2a＋b=0；②4a－2b＋c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2．其中正确的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据对称轴为x=1可判断出2a＋b=0正确，当x=－2时，4a－2b＋c＜0，根据开口方向，以及与