《转化与化归文章.docVIP

山东省中小学教育科研优秀成果参评封面 序号： 地市：济南市 申报人姓名 孟庆波 性别 男 职称 中教一级 工作单位 济南电子机械工程学校（二职专） 职务 教师 电话 通讯地址 济南市经六纬七路72号 邮编 250021 手机 成果形式 .论文 参考文献 职专教材、大专教材、高中教材 合作者姓名 参评成果简介（100字左右） 本人结合多年教学经验，从六个方面：①等与不等相互转化②正与反的相互转化③特殊与一般的相互转化④整体与局部的相互转化⑤高维与低维的相互转化⑥数与形的相互转化。阐述了转化与化归思想在数学教学中的应用，并引用典型例题加以说明。 专家评审意见 一审 二审 奖次 签名 奖次 签名 一 二 三 四 一 二 三 四 注：序号由山东省教育科学研究所工作人员填写 论转化与化归思想在数学中的应用 转化与化归思想是中学数学中四种重要的数学思想之一，它是在处理问题时，把那些待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题，是一种把未知问题转化为熟知可解问题的一种重要的思想方法。本人在多年的教学中和平时与各位教师的交流中，从以下几个方面总结了转化与化归思想在中学数学中的应用。 一、等与不等的相互转化 等与不等是数学中两个重要的关系，也是常见的两种关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。 例1、（1）若f(x)=ax+3-a的图像在（0，1）内与x轴恰有一个交点，则a的取值范围是 。 （2）当a∈R时，方程 |3x+5|=ax+b恒有实数解，则b的取值范围是 。 这两个问题都是求参变量的取值范围，可结合图形及一次函数的性质转化为解不等式。 解：（1）f（x）的图象是一条直线，在（0，1）内与x轴恰有一个交点，则f（0）·f（1）＜0，则a＞3。（当a=0时不合题意） （2）方程 |3x+5|=ax+b恒有实数解，即曲线y=|3x+5|与直线y=ax+b恒有交点，由图可知b≥5时，方程恒有实数解。 从直线方程的观点看，一个是求斜率的取值范围，一个是求y轴上截距的取值范围，要认真比较他们的区别和联系。 二、正与反的相互转化 对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算比较繁杂的问题，可以先攻其反面，从而使正面问题得以解决。 例2、设 试判断的单调性； 若的反函数为，证明只有一个解； 解关于x的不等式。 （1）判断函数单调区间可以用定义、导数、图象及复合函数的判断法则，但所给函数为具体函数时用导数比较方便；（2）如果是单调函数，则也是单调函数，显然只有一解，但作为证明不容易说明，可以利用反证法；（3）考虑到，可以利用（1）的结论处理。 解：（1）的定义域是， ∵ ∴， ∴在（-1，1）上是减函数。 （2）证明：∵， ∴，即是的一个解。 设是的解，则 ∴与矛盾。 ∴只有惟一的实数解 （3）由（2）知，∴， 又∵在上是减函数， ∴解得或 不等式的两边只有都在f的作用下，才能够利用函数的单调性脱掉“f”，即创造条件利用函数的单调性；当脱掉“f”后自变量必须落在单调区间内。 三、特殊与一般的相互转化 对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。 例3、如图，已知动圆与直线y=-3相切并与定圆内切。 （1）记动圆圆心的轨迹为曲线C求曲线C的方程； （2）过原点作斜率为1的直线交曲线C于第一象限一点，又过作斜率为的直线叫曲线C于，再过作斜率为的直线于，……，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线叫曲线C于点，设点，①令，求证：数列是等比数列；②设数列的前n项和为，试比较与的大小。 本题首先要仔细审题，先求C的方程，再证明是等比数列，最后比较大小。 解：（1）设动圆圆心C（x，y），由题意得：，化简得圆心轨迹方程为： （2）①∵，在曲线C上， ∴，，又∵直线的斜率为， ∴，即，得， ∴ 则，所以数列是以为公比的等比数列。 ②由①知，则， 所以，因此只需比较与3n+10的大小即可。 当n=1时，4＜13，∴； 当n=2时，16=16，∴； 当n=3时，64＞19，∴； 猜想当n≥3时，。下面用数学归纳法证明此命题即可。 此题综合了相当多的基础知识和解题技巧，对灵活运用知识和技能也提出了较高的要求。 四、整体与局部的相互转化 整体是由局部组成的，研究某些整体问题可以从局部开始。 例4、设都是整数，证明： 。 这是一个多元不等式，从整体上考虑，很难入手，可以先考虑局部：