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第一章 命题逻辑 Propositional Logic 第四节 对偶式与蕴涵式 第四节 对偶式与蕴涵式 一、对偶式 定义：在给定的仅使用联结词 ?、∧、∨的命题公式A中，若把∧和∨互换，F和T互换，得到一个公式A*， 称A*是A的对偶式（dual）。 称A和A*互为对偶式 对偶式 例1.24 求下列公式的对偶式。 ? P∨(Q∧R) P∧T P ? Q 对偶式 对偶定理： 设A和A*互为对偶式， P1，P2，…，Pn是出现在A和A*的原子命题变元，则 ? A (P1，P2，…，Pn) ? A* (? P1，? P2，…，? Pn) A (? P1，? P2，…，? Pn) ?? A* (P1，P2，…，Pn) ? A (P1，P2，…，Pn) ? A* (? P1，? P2，…，? Pn) 证明：设公式 A 中含有联结词?、∧、∨的数目为L 当 L＝0时， A ? P1 ? A* ? A (P1) ?? (P1) ?? P1 ? A* (? P1) 当L＝1时， A ? (P1∧P2)（或(P1∨P2) ，或? P1 ） 当A ? (P1∧P2)时，A* ? (P1∨P2) ? A (P1, P2) ?? (P1∧P2)?(? P1∨? P2) ? A* (? P1,? P2) 当A ? (P1∨P2)时，A* ? (P1∧P2) ? A (P1, P2) ?? (P1∨P2)?(? P1∧? P2) ? A* (? P1,? P2) 当A ? ? P1 时，A* ? ? P1 ? A ?? (? P1) ?(? ? P1) ? A* (? P1) ? A (P1，P2，…，Pn) ? A* (? P1，? P2，…，? Pn) 设当 L＝k – 1 时(k=1, 2, …)时 ? A (P1, P2, …, Pn) ? A* (? P1,? P2,…,? Pn) 成立 当L＝k时 若A (P1, P2, …,Pn) ? A1 (P1, P2, …, Pn)∨A2 (P1, P2, …, Pn) 则LA1，LA2 ≤ k-1。由上面结论得： ? A1 (P1, P2, …, Pn) ? A1* (? P1,? P2,…,? Pn) ? A2 (P1, P2, …, Pn) ? A2* (? P1,? P2,…,? Pn) ? A (P1，P2，…，Pn) ? A* (? P1，? P2，…，? Pn) ? A (P1, P2, …, Pn) ?? (A1 (P1, P2, …, Pn)∨A2 (P1, P2, …, Pn)) ? ? A1 (P1, P2, …, Pn)∧? A2 (P1, P2, …, Pn) ? A1*(?P1,?P2,…,?Pn)∧A2*(?P1,?P2,…,?Pn) ? A*(? P1,? P2,…,? Pn) ? A (P1，P2，…，Pn) ? A* (? P1，? P2，…，? Pn) 同理，若 A (P1, P2, …, Pn) ? A1 (P1, P2, …, Pn)∧A2 (P1, P2, …, Pn) 可证 ? A (P1, P2, …, Pn) ? A*(? P1,? P2,…,? Pn) 若A (P1, P2, …, Pn) ? ? A1 (P1, P2, …, Pn) 可证 ? A (P1, P2, …, Pn) ? ? A1*(? P1,? P2,…,? Pn) ? A*(? P1,? P2,…,? Pn) 由上证明，可得当L=K时， ? A (P1, P2, …, Pn) ? A*(? P1,? P2,…,? Pn)。证毕 对偶式 例1.25 设 A(P, Q, R) = ? P∨Q∧R 求证： A*(? P, ? Q, ? R) ? P∧(? Q∨? R) 。 证明： ? A(P, Q, R) ? ? (? P∨Q∧R ) ? P∧(? Q∨? R) 由因为： ? A(P, Q, R) ? A*(? P, ? Q, ? R) 所以： A*(? P, ? Q, ? R) ? P∧(? Q∨? R) 证毕 对偶式 对偶定理： 设A和B是两个命题公式，若A ? B，则A* ? B* 证明： A ? B意味着A (P1,P2,…,Pn) ? B (P1,P2,…,Pn)永真。 所以 ? A (P1,P2,…,Pn) ? ? B (P1,P2,…,Pn)永真。 因为 ? A (P1,P2,…,Pn) ? A*(? P1,? P2,…,? Pn) ? B (P1,P2,…,Pn) ? B*(? P1,? P2,…,? Pn) 因此 A*(? P1,? P2,…,? Pn) ? B*(?
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