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第十七章 勾股定理内容： ；；几种变形勾股定理；证明：用拼图的方法，借助面积的不变关系来证明.勾股数： .①已知直角三角形的任意两条边，求第三边；②已知直角三角形的一边求另两条边的关系；③证明含有平方关系的几何问题；勾股定理的应用④用勾股定理，在数轴上做出表示的点，即作出勾股定理长为的线段.⑤借助勾股定理构造方程，解决实际问题. 内容： ；勾股定理的逆定理 作用：①判断某一个三角形是否为直角三角形； ②证明线段的垂直关系.逆定理判定 直角三角形 ①确定最大边(设为c)； ②验证的值 互逆命题 互逆命题：在两个命题中，一个命题与另一个命题的题设、结论正好相反. 我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.一、勾股定理与勾股定理逆定理的比较： 勾股定理 勾股定理的逆定理条件 在 在勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”结论 勾股定理是以“一个三角形是直角区别 三角形”为条件，进而得到“数量关系”，即由“形”到“数”联系 两者都与三角形的三边有关系专题一：利用勾股定理确定平面内、几何体上的最短路线一、确定平面内最短路线问题例一（1）：如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是多少？分析：根据轴对称作图，构造直角三角形，借助勾股定理解决.对应训练：1.1. 如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．（1）水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）；（2）如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？方法总结：求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点的线段就是最短路径长.以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出一个两条直角边已知的直角三角形，然后利用勾股定理即可求出直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径.二、确定长方体（或正方体）上的最短路线例一（2）：如图，有一个长方体纸盒，小明所在的数学小组要研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短距离．若长方体的底面长为12，宽为9，高为5．请你帮助该小组求出由A点到B点的最短距离(21.592≈466,18.442≈340).分析：要求最短路程，需要将长方体展开成平面图形，要了解两点之间线段最短，再利用勾股定理求解.对应训练：1.2.如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，则从点A到C1点的最短距离是多少？三、确定圆柱体上的最短路线例三：为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其截面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸？分析：将圆通侧面展开成平面图形，利用平面两点之间线段最短求解，构造直角三角形，利用勾股定理解决.解：将圆筒展开后成为一个矩形，如右图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可对应训练：3.如图，一只壁虎在底面半径为20cm,高为30πcm的圆柱下底边A处,发现在它正上方圆柱边缘B处有一只害虫,为捕捉这只害虫，它故意不走直线，而绕着圆柱沿一条螺旋路线从背后对害虫进行突然袭击，偷袭成功，得到一顿每餐，请问壁虎捕捉到害虫至少要爬多远？方法总结：求几何体表面的最短路线的方法：将空间图形的侧面（或表面）展开成平面，曲线转化成直线，构造直角三角形，然后利用勾股定理求解.写出一个题设、结论不太分明的命题的逆命题的方法：先将命题改写成“如果…，那么…”的形式来确定命题的题设和结论，再互换题设和结论，从而得到它的逆命题.专题二：互逆命题一个命题交换题设和结论之后得到的新命题就是这个命题的逆命题.例二：下列这些命题中：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a+b0,那么a0,b0；④相等的角都是直角；⑤如果a0,b0,那么ab0；⑥全等三角形的对应边相等.（1）写出下列命题的逆命题；（2）③和⑤是互逆命题吗？（3）请指出哪几个命题是互逆命题？分析：写逆命题的关键是找到命题的题设和结论，再把题设和结论交换位置即可.对应训练：2.下列说法正确的是（ ）①若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题；②每个命题都