《第3章一元函数微分学.docVIP

第三章 一元函数微分学 §3.1 基本概念与主要结果 例1 设定义在上且在处可导, 对任意有, 证明 在上处处可导, 并求与. 证明 令，得=2,=0, 当时有 ,于是. 下面解微分方程 （1）.令，即，有，代入（1）式化简得，即.令,得,故, 例2 设在上可导, , 导数与存在且.. 证明 存在使得. 证明 不妨设 ,,由于,存在,当时， 由得. 又由,存在,当时, ,从而.取充分小 使得 . 从而有,在上利用连续函数的介值性定理存在使得. 例3设在上二阶导数连续，且，定义函数, 证明 在上有一阶连续的导函数. 证明 显然当时, 是连续的,又 ,故在上连续. 由导数的定义, 因此在处可导,从而在上处处可导. 当时, ,, 由于. 因此在处连续, 从而在上处处连续. 例4 设在上可导，证明具有介值性即（不妨设）及介 于与之间的任意值，存在使得. 证明 不妨设，令.则在上连续且.由连续函数的最值定理,在上有最小值, 设最小值点为.由于,故存在使,从而,即,类似可证.由Fermat定理(极值的必要条件), ,即. 注 此结论称为达布定理, 也称为导数的介值性定理. 推论 若在内处处可导, 则不能有第一类间断点,即具有第一类间断点的函数不存在原函数. 证明 因在内处处可导, 所以对任意,当时, 在上满足拉格朗日中值定理的条件, 故存在, 使得.又,故时有,于是有,这说明在处有右极限时必有,同理可证若在处有左极限时有.所以在内任意一点处除非至少有一侧无极限（这时为的第二类间断点），否则在此处连续即. . 例5 设在内可导且存在. 证明 (1) 存在； (2) 若补充定义,则右导数存在且. 证明 (1) 设, 由极限的局部有界性, 存在,当时，,由此得., ,当时,由拉格朗日中值定理, 其中介于之间.由柯西收敛准则, 存在. (2) 补充定义,当时,由拉格朗日中值定理, ,其中介于之间,当时有且. 推论 若在内可导且,都存在, 则. 例6 设在上连续, ,且在内有连续的右导数，试证存在使. 证明 （1）若常数,则,结论显然. (2)若不恒为常数,则只需证分别有，则由的连续性，便知结论成立.事实上,由在上连续,故在上必有最大最小值,而,因此最值至少有一个在内部达到.设为的最大值点（内部为最小值点类似讨论）,于是.任取一点,因在上连续,在上必有一点达到了最小值,于是,故我们的目的达到了. §3.2 微分中值定理及其应用 例1 设 在上可导,, 导数与存在且.. 证明方程在内至少有两个根. 证明 由§3.1中例2的结论知存在使得.在,上分别使用罗尔定理，与使得,从而结论得证. 例2 设 在上非负且三阶可导, 方程在内有两个不同的实根 证明存在使得. 证明 设函数 在内两个不同的实根为且.由罗尔定理, 使得 (1).又,从而为f(x)的极小值点,由Fermat定理, (2).对在,上用罗尔定理,则,使得.再对在上用罗尔定理,存在使. 例3 设在上二阶可导, 过点与点的直线与曲线于 点，其中. 证明存在,使得. 证明 由条件对在,上分别使用拉格朗日中值定理，与使得,,由于三点共线,故对在上应用罗尔定理, 存在一点,使. 例4 设在上连续,在内可导,. 试证对任意的,存在,使得. 注 由,可得，即为的零点.又,令,检验罗尔定理的条件,这是显然的. 例5 若, 在上可导且,则存在,使得. 证明 构造函数,检验罗尔定理的条件,这是显然的. 例6 设, 在上可导,且,,有. 证明存在,使. 证明 构造函数,检验罗尔定理的条件,这是显然的. 例7 设在上连续,在内可导,,且对任意都有。 证明对任意自然数,存在,使得. 证明 方法1 构造函数,显然在上连续,在内可导,且. 又,知,.由罗尔定理,存在,使得,即.因为,所以.因此. 方法2 由于当时,.故在内不变号.不妨设在内恒正.令.显然,故存在,使得.由最值定理,存在,使得.所以由Fermat定理, ,即得. 注 设为有限或无穷区间,在内可微,且(有限或). 则存在使得. 证明 (1)若(有限数),则对任意,. (2) 若存在使.不妨设(可类似证明).因,由在内连续,对任意取定的数（），存在,,使.由罗尔定理,存在使得.若,则内任取一点上面推理保持有效. 例8 设在上连续,在内可导. 证明存在,使得. 证明 令,则.构造函数,由条件易知在上连续,在内可导且.由罗尔定理,存在,使得,即，故. 练习 设在上连续,在内可导. 证明存在,使得. 提示 方法一 构造函数,利用拉格朗日中值定理. 方法二 构造函数,利用罗尔定理. 例9 设在上连续,在内可导. 证明存在,使得. 证明 方法一