《第04讲转化思想高中版.docVIP

第 4 讲 转化思想（高中版） （第课时） 转化的思想 重点：1．转化的类型；2．转化的策略。 难点：选用合适的转化策略。 1．对于非等价转化要能对结论进行必要的修正；2．解题时选用合适的转化策略。 1．等价转化与非等价转化都有可能涉及；2．十大转化策略都有可能用到。 转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种策略，将问题加以转化，进而达到解决问题的思想。 　　数学中的已知与未知，异与同，多与少，一般与特殊等等在一定条件下都可以互相转化。转化的方向一般是把未知的问题朝向已知方向转化，把难的问题朝较易的方向转化，把繁杂的问题朝简单的方向转化，把生疏的问题朝熟悉的方向转化。 转化有等价转化与非等价转化两种。等价转化要求转化过程是充分必要的，以保证转化后的结果仍为原问题的结果，例如代数中解析式的恒等变换， 方程、不等式的同解变换；几何中的等积变换等等。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程转化为有理方程要求验根）。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求。 “转化”使我们“暗渡陈仓”，“柳暗花明”A、B、C中至少有一个大于0A+B+C＞0A、B、C中至少有一个于0A·B·C=0 ③ 、、三数中必有两个互为相反数 → …… 对于一个从来没有见过的新问题，首先应尽量将其转化为你所熟悉的旧问题来做。 对于一些非标准形式的问题，可以转化为标准形式的问题来做。 例. 已知 ，求证 、、 中至少有一个等于1。 分析：结论没有用数学式子表示，很难直接证明。我们首先将结论“翻译”成我们熟悉的数学式子。、、中至少有一个为1，也就是说中至少有一个为零，即 ，这样，问题就容易解决了。 证明 ∵ ，∴ ， 于是 ， ∴ 中至少有一个为零，即、、中至少有一个为1。 例. 在一条笔直的大街上，有n座房子，每座房子里有一个或更多的小孩，问：他们应在什么地方会面，走的路程之和才能尽可能地少？请你将该问题抽象成数学式子。 解：用数轴表示大街，几座房子分别位于、、…、 ，设各座房子中分别有 、、…、 个小孩，如果会面地点为，则问题就成为求实数，使 最小。 例. 求 （1+2x-3x）展开式中的x的系数。（高三）（“类比求解”之例） 分析：我们学过二项式定理，现在遇到三项式的问题，怎么办？能不能把三项式的问题转化为二项式的问题呢？如果我们把2x-3x看成一个整体，原来的多项式就成为[1+(2x-3x)]，是一个二项式的问题了！ 解：∵（1+2x-3x）=[1+(2x-3x)]。 它的一般项可以写成 T=C?(2x-3x)，其中k=0,1,2……6 ， 又∵ (2x-3x)的一般项可以写成： T=C?（-3x）（2x）= C?（-3）?2?x，其中r=0，1，2……k ∴ 原式的一般项为C? C?（-3）?2?x 欲求x的系数，则k+r=5，即k=5-r。 ∵ k=0,1,2……6，r=0，1，2……k，且r≤k。 ∴ r为0，1，2，对应的k可为5、4、3。 ∴ 展开式中的x的系数应为： C?C? (-3) ?2+ C?C? (-3) ?2+ C?C? (-3)?2=-168 例：已知： ， ， ，求证： 。 分析： ， ， ，因为其外形与三角函数公式神似，故试将其转化为三角恒等式来证明。 证明：令 ， ，则 ， 同理， ， ， 又∵ ， ∴ 即 。 2．恒等转化 对某些问题,运用配凑、代换、降次、去分母等恒等转化手段，改变问题的内部结构，容易显露其本质，获得问题的解决。去分母时要特别注意，去分母后的式子与原式是否等价。 例. 设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。 分析： 设 k＝x＋y，再把y＝k-x代入 3x＋2y＝6x 消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k的范围问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。 解：由 6x－3x＝2y≥0 得 0≤x≤2 。 设 k＝x＋y ，则 y＝k－x ，代入已知等式得 x－6x＋2k＝0 ， 即 k＝－x＋3x ，其对称轴为 x＝3 ， 由 0≤x≤2 得 k∈[0,4] 。 所以 x＋y 的范围是 0≤x＋y≤4 。 例. 求和。 分析：这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且，因此，原式等于 问题很快就解决了。 3．传递转化 通过解决比原问题更强的问题，达到解决原问题的目的。例如证不等式时，利用不等变换，即以小换大或以大换小。 例.求证： 对于任意证整数n，都有 。（高二） 证明：∵ ， ∴ 点评：证不