优·第十六章 不定积分.docVIP

第十六章　不定积分 知识结构图： 教学目的要求： 1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不定积分的几何意义与基本性质。 2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。 教学重点： 1．原函数与不定积分的概念 2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点： 1．不定积分的几何意义 2．凑微分法、分部积分法求不定积分 第一节　不定积分的概念与基本公式 【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。 【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。 【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】 一、原函数与不定积分的概念 (一)原函数的概念 前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题， 如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本，要求该产品总成本的变化规律． １．原函数定义 定义4．1 设是定义在区间内的已知函数．如果存在可导函数，使对于任意的，都有 或 则称函数是函数的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数: ① ② ③　　　④ 教师将举例分析：如，则是在R上的一个原函数。 ，则 是的一个原函数。 教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此，我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论． 结论：如果函数在某区间上连续，则其原函数一定存在 （2）是不是在R上的一个原函数呢？学生回答：是 （3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 2.原函数个数 定理4．1　如果函数是的一个原函数，则也是的原函数，且的所有原函数都具有的形式（为任意常数）． (二)不定积分的概念 教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为的形式，我们把它叫做的不定积分。 １．不定积分定义 定义4．2 如果函数是的一个原函数，则称的全体原函数（为任意常数）为的不定积分，记作 其中称为积分号，称为被积函数，称为积分表达式，称为积分变量，称为积分常数． 例2 求下列函数的不定积分: ①　　　② 　　 ③ 2．不定积分几何意义 提问：不定积分是否像导数那样具有某种几何意义呢？ 观察图4-1，根据不定积分的定义，具有这样的性质： 结论：表示的是一族曲线，其中任意一条曲线都可以由曲线沿轴上、下平移得到．这积分曲线上横坐标相同的点处所作曲线的切线都是互相平行的（如图4-1所示）。 例3 已知某曲线上一点（－1，2），且过曲线上任意一点的　　　　切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程 课堂练习(一)： 求下列函数的一个原函数与不定积分: ① ② 　　③　　　 3．不定积分的性质 提问：若对于任意的,，那么， 性质1（积分运算与微分运算互为逆运算） 或 或 性质2 （不定积分的运算法则） 两个函数代数和的不定积分，等于这两个函数不定积分的代数和，即 推广：有限个函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即 性质3 （不定积分的运算法则） 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即 () 4．不定积分的基本公式 设想：导数运算与积分运算是互为逆运算，那么我们是否可以通过导数基本公式得到相应的不定积分公式？结论是肯定的， 师生配合，根据导数基本公式，以及例1、2和课堂练习（一）得如下不定积分公式： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 利用基本积分表和不定积分的性质，可以直接计算一些简单的不定积分,或将被积函数经过适当的恒等变形，再利用积分的基本性质和基本积分公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法． 例4　求