优·第三章 导数与微分.doc

教学内容（含时间安排） 板书或旁注 第三章 导数与微分 第一节 导数的概念（2课时） 要求：1．理解导数的概念；会叙述导数的定义。会用定义对一些简单函数求导。 　　　2．理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。 重点：理解导数的概念，极限连续可导间的关系。 难点：分段函数在分段点的导数的讨论。 一、引例 在生产实践与科学试验中，我们不仅要知道所考察的量的变化规律，而且需要知道它的变化率——变化快慢的程度． 1．变速直线运动的瞬时速度问题 设质点作变速直线运动, 其运动方程为. 下面求这质点在某一时刻的瞬时速度. 如图3.1.1所示: 考虑时间从到这一段时间内, 质点经过的路程为: , 平均速度为: , 当很小时, 可以用 来近似代替时刻的速度, 并且||越小，越接近时刻的速度. 所以若存在, 则极限值就是质点在时刻的速度, 即 . 2．曲线的切线斜率问题 平面曲线的切线的几何演示：设函数的图像为曲线，在曲线上点附近取一点,作割线，当点沿曲线移动而趋向于时，割线的极限位置就定义为曲线在点处的切线.如图3.1.2 图3.1.2 和为曲线上的两点，它们到轴的垂足分别为和,作垂直并交于，则 , . 而比值 便是割线的斜率，当时,沿曲线趋于，从而我们得到切线的斜率 . 由此可见，曲线在点处的纵坐标的增量 与横坐标的增量之比，当时的极限即为曲线在点处的切线斜率. 二、导数的定义 定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量，如果存在，则称函数在点处可导，并称这个极限值为函数在点处的导数，记为．即 也可记作． 说明 （1）表示函数在区间上的平均变化率，而表示函数在点的瞬时变化率，反映了因变量随自变量的变化快慢程度． （2）如果函数在区间内每一点导数存在，则称函数在开区间内可导，因此产生一个新的函数，称为函数的导函数，记作，而就是导函数在点处的函数值． （3）若时，为方便起见，称函数在点处导数为无穷大． （4）导数定义的几种形式 三、求导数举例 用导数定义求导数步骤如下 （1）求函数的增量 （或）； （2）算增量比值 ； （3）取极限． 例1．求函数（为常数）的导数． 解 ，即． 例2．求函数（为正整数）在处的导数． 解． 此时可得． （） 注意 一般地，对于幂函数（为常数），有． 如 ． 例3．求三角函数的导数． 解 ． 用类似方法可得． 例4．求对数函数的导数． 解 ． 即，特别． 例5．求指数函数的导数． 解 ． 即，特别． 例6．求函数在处导数． 解 因为， 所以 于是不存在，即函数在点处不可导． 四、左、右导数 左导数 为函数在点处的左导数； 右导数 为函数在点处的右导数． 结论 函数在点处可导． 闭区间可导 若函数在开区间内可导，且及都存在，则称在闭区间上可导． 例7．讨论函数在点处是否可导？ 解 因为 ， 所以 ， ． 因此，于是函数在点处不可导． 五、导数的几何意义 切线问题 设曲线的方程为，求曲线上点处的切线方程． 在上取与点邻近的点，作割线，其斜率 ， 当点沿曲线趋于点时，即如果当时， 上式的极限存在，设为，即 存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率，这里，其中为切线倾角．因此，通过点且以为斜率的直线便是曲线在点处的切线． 曲线在点处切线斜率为， 切线方程 法线方程 () 注意 若函数在点处导数为无穷大，曲线在点处具有垂直于轴切线． 例8．求曲线通过点的切线方程． 解 设切点为，则切线斜率为，于是所求切线方程可写为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．④ 又切点在曲线上，故有，而切线过 点，将其代入切线方程，有 ， 解方程组 ， 得，又将其代入④中化简得切线方程为 ． 六、函数的可导性与连续性的关系 定理 若函数在点处可导，则在点处必连续，反之不然． 证明 设函数在点处可导，即 存在，由具有极限的函数与无穷小的关系知道， ， 其中当时为无穷小，上式两边同乘以，得 ． 由此可见，当时，．这就是说，函数在点处是连续的．所以，如果函数在点处可导，则在点处必连续． 但是，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导．下面举一例说明之． 例9．函数在区间上连续，但在点处不可导． 证明 因为 即导数不存在，也称导数为无穷大，曲线在点处