优·第三章 导数的应用教案.doc

第三章　导数的应用 知识点： 教学目的要求： （1）用数形结合的思想方法掌握罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件与结论。 会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的。 （2）知道洛必达法则，能运用洛必达法则求不定式的极限，重点掌握“”型和“”型，了解“”、“”型等。 （3）掌握用一阶导数的符号判别函数单调性的方法，会求函数的单调区间，并利用函数的单调性进行简单不等式的证明；理解函数极值与极值点的概念，掌握极值存在的必要条件，掌握求函数极值的方法（极值点的充分条件），搞清极值点与驻点的区别与联系。 （4）。初步具有应用中值定理论证问题的能力. 【教学重点】1．罗尔定理；2．拉格朗日中值定理。 【教学难点】1．罗尔定理与拉格朗日中值定理条件的判断；2．罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的求解。 【教学时数】1学时 【教学进程】 罗尔（Rolle）上的一条连续曲线，在相应的开区间内处处光滑无尖点（或者说曲线无打折现象），且区间端点的函数值相等如图1, 则在区间上至少有一条水平切线。我们说这就是微分中值定理之一……罗尔中值定理的几何解释。 几何意义： 在上是一条连续的曲线。（连续） 在内处处光滑无尖点（或者说曲线无打折现象）。（可导） 两端点A、B的连线与轴平行。（端点高度相同） 结论：至少存在一点，使得其切线平行于轴。 图1 分析意义： 定理3．1 如果函数满足下列条件： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3）。 则在区间内至少存在一点，使得 例1: 验证罗尔中值定理对函数，在区间上的正确性。并求出罗尔定理结论中的。 解：我们从定理中的三个条件来逐一判断，是否符合。 条件①：是初等函数，所以函数在上连续，即条件①符合。 条件②：，所以函数在（－3, 0）内可导，条件②符合。 条件③：，条件③符合。 所以在上满足罗尔定理的条件。 令，解得，因为不在区间（－3, 0）内，故舍去。所以取，即在（－3, 0）内存在一点，使得。所以罗尔中值定理结论中的. 思考：如果罗尔中值定理的条件有一个不成立，结论会如何？ 例2: 验证函数在区间上是否满足罗尔定理，若满足求出罗尔定理结论中的。 解：我们从定理中的三个条件来逐一判断，是否符合。由 的图象可知： 图 2 条件①：在上连续，即条件①符合。 条件②：，点是一个尖点，即在点不可导，所以条件②不符合。 所以在上不满足罗尔定理的条件。 同时我们从图2也可以看到在内不存在点，使得其切线平行于轴。即不存在点，使得。 课堂练习： 验证函数在区间上是否满足罗尔定理，若满足求出罗尔定理结论中的。 （答案：满足，） 强调：1． 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2． 使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个. 在罗尔中值定理中条件比较特殊，使他的应用受到限制。若在罗尔中值定理中，，其余条件不变，则我们得到： 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日（Lagrange 1736-1813）法国数学家。普鲁士国王腓特烈大帝尊称他为“欧洲最大之数学家”，他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。 在介绍拉格朗日中值定理之前先简单介绍拉格朗日的生平。 如图3, 若，其余条件不变，则在区间上至少有一条切线平行于弦。我们说这就是微分中值定理之一……拉格朗日中值定理的几何解释。 几何意义： 图3 在上是一条连续的曲线。（连续） 在内处处光滑无尖点（或者说曲线无打折现象）。（可导） 结论：至少存在一点，使得其切线平行于弦AB。 分析意义： 定理3．2 设函数满足下列条件： （1）在闭区间上连续， （2）在开区间内可导， 则在区间内至少存在一点，使得． 上式也可表示成． 例3：验证函数在闭区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件，并求出拉格朗日中值定理结论中的。 解：我们从定理中的两个条件来逐一判断，是否符合。 条件1: 是初等函数，所以函数在上连续，即条件1成立。 条件2: ，所以函数在（1, 4）内可导，条件②符合。 所以在上满足拉格朗日中值定理的条件。 又，令。所以拉格朗日中值定理结论中的。 推论3.1 若函数在区间(a, b)上导数恒为零，则在区间(a, b)上是一个常数. 即 思考：若其余条件不变，在区间（a, b