优·第三章 导数.doc

第三章 导数与微分 第一节 导数的概念 教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的 物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系 教学重点：导数的概念,导数的几何意义 教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握 教学内容： 函数在一点的导数 为了给出导数的概念，我们先看下面两个问题。 （1）直线运动的速度 设某点沿直线运动。在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。设动点于时刻在直线上的位置的坐标为（简称位置）。这样，运动完全由某个函数 所确定。这函数对运动过程中所出现的值有定义，称为位置函数。在最简单的情形，该动点所经过的路程与所花的时间成正比。就是说，无论取哪一段时间间隔，比值 经过的路程 所花的时间 总是相同的。这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值。这样，把比值①笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为）的速度应如何理解而又如何求得呢？ 首先取从时刻到这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置移动到。这时由①式算得的比值 可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值②在实践中也可用来说明动点在时刻的速度。但对于动点在时刻的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令,取②式的极限，如果这个极限存在，设为，即，这时就把这个极限值称为动点在时刻的（瞬时）速度。 （2）切线问题 圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是对于其它曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线，在原点处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有轴是该抛物线在点处的切线。下面给出切线的定义。 设有曲线及上的一点（图2-1），在点外另取上一点，作割线。当点沿曲线趋于点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长趋于零，也趋于零。 现在就曲线为函数的图形的情形来讨论切线问题。设是曲线上的一个点（图2-2）。根据上述定义要定出曲线在点处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点外另取上的一点，于是割线的斜率为 ， 其中为割线的倾角。当点沿曲线趋于点时，。如果当时，上式的极限存在，设为,即 存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里，其中是切线的倾角。于是，通过点且以为斜率的直线便是曲线在点处的切线。事实上，由以及时，可见时（这时），。因此直线确为曲线在点处的切线。 我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性给出导数的概念。 定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 ， 也可记作，或。 函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在。 导数的定义式③也可取不同的形式，常见的有 和 注：函数在一点的导数的几何定义：是曲线在点的切线斜率； 路程对时间的导数是时刻的速度； 在抽象情况下，表示在点变化的快慢。 可导与连续的关系 设函数在点处可导，即存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道，，其中当时为无穷小。上式两边同乘以，得 。 由此可见，当时，。这就是说，函数在点处是连续的。所以，如果函数在点处可导，则函数在该点必连续。 另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。 左导数与右导数 根据函数在点处的导数的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限 及 都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作及，即 ，。 现在可以说，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。 如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导。 求导练习 下面根据导数定义求一些简单函数的导数。 例1 求函数（为常数）的导数。 解：，即。这就是说，常数的导数等于零。 例2 求函数（为正整数）在处的导数。 解：。 把以上结果中的换成得，即。 更一般地，对于幂函数（为常数），有。这就是幂函数的导数公式。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如： 当时，（）的导数为 ，即； 当时，（）的导数为 ，即。 例3 求函数的导数 解： ， 即 。 这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。 用类似的方法，可求得，这就是说，余弦