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泰勒公式的证明及其应用 XXX (XX学校 XX院 09级 XX专业 2班) 摘 要：泰勒公式是数学分析中的一部分重要内容。本文论述了泰勒公式的基本内容，并着重从7个方面介绍了泰勒公式在数学分析和实际生活中的一些应用：利用泰勒公式证明恒等式和不等式，求极限和中值点的极限，还有应用在函数方程中，除此外，还可用泰勒公式求极值，研究函数图形的局部形态，从而更加清楚地认识泰勒公式的重要性． 关键词：泰勒公式；极限；极值；中值点；函数；应用 引言 泰勒主要是从有限差分出发，得到格里戈里–牛顿插值公式，然后令初始变量为零，项数为无穷，但没有给出余项的具体表达式．随着后人的不断研究与完善，形成今天实用的泰勒公式．现代也有很多期刊和教材对这部分内容进行了介绍，对近似计算上的应用介绍也较全面，较系统，但在其它领域的应用则显简单，不系统，不全面，为了方便以后的学习，有必要对此部分内容进行归纳总结，而泰勒公式是一个多项式的拟合问题，而多项式是一种简单函数，它的研究对计算机编程计算极为方便． 1 Taylor公式 首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，可以设想用一个的次多项式在附近去逼近，即令 （1．1） 从几何上看，这表示不满足在附近用一条直线（曲线在点的切线）去代替,而是想用一条次抛物线去替代它． 由此猜想在点附近这两条曲线可能会拟合的更好些，那么系数如何确定呢？ 假设本身就是一个次多项式，显然，要用一个次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有 于是得： 求一次导数可得： 又求一次导数可得： 这样进行下去可得： 因此当是一个次多项式时，它就可以表成： （1．2） 即附近的点处的函数值可以通过点的函数值和各级导数去计算．通过这个特殊的情形，得到一个启示，对于一般的函数，只要它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式 称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数，称为泰勒系，因而次多项式的次泰勒多项式就是它本身． 泰勒公式的应用 由于泰勒公式涉及到的是某一定点及处函数及阶导数值：，，以及用这些值表示动点处的函数值，本文研究泰勒公式的具体应用，比如证明中值公式，求极限等中的应用． 应用Taylor公式证明等式 例1 设在上三次可导，试证：，使得 证明 （利用待定系数法） 设为使下列式子成立的实数： （2．1） 这时，问题归为证明，，使得： 令，则． 根据罗尔定理，，使得，即： 这是关于的方程，注意到在点处的泰勒公式： 其中，比较可得原命题成立． 例2 设在上有二阶导数，试证：，使得 （2．2） 证明 记，则在处泰勒公式展开式为： （2．3） 对（2．3）式两端同时取上的积分，注意右端第二项积分为0，对第三项的积分， 由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：，使得 因此原命题成立． 从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式，以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明，证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面通过两个例子来说明一下． 2．2 应用Taylor公式证明不等式 例3 设在上二次可微，，试证：， ． 证明 取，将在处展开 其中 以乘此式两端，然后个不等式相加，注意 得： 例4 设在上有二阶导数，当时，． 试证：当时，． 证明 在处的泰勒展开式为： 其中将分别换为可得： （2．4） （2．5） 所以（2．4）式减（2．5） 从而 由上述两个例子可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式．例3说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例4说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学校中，要会灵活应用，但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件． 2.3 应用Taylor公式求极限 设函数在上二次连续可微，如果存在，且在 上有界，试证：． 证明 要证明，即要证：，当时．利用公式，，